Confusión sobre la derivación de las fórmulas del centro de masa

Question

Así que, no estoy seguro de si soy realmente tonto y no entiendo algo obvio o si hay más complejidad aquí... Hagamos primero 2 objetos. Digamos que C.O.M. es x°.

Entonces $x° = \dfrac{x_1M_1 +x_2M_2}{M_1+M_2}$

Entiendo la "idea" de esta fórmula: en cierto modo se está promediando el valor de las masas. Pero, ¿hay alguna razón evidente para que esto sea así? Se puede derivar fácilmente de:

$(x°-x_1)M_1 = (x_2-x°)M_2$

pero no veo por qué la declaración inicial ( $x° = \dfrac{x_1M_1 +x_2M_2}{M_1+M_2}$ ) es a priori verdadera. ¿Existe una intuición geométrica?

Si estamos haciendo una función continua no constante:

$\int_{a}^{x°}f(x)(x°-x)dx= \int_{x°}^{b}f(x)(x-x°)dx$

Se puede derivar que esto es igual (si lo hice bien) a $\dfrac{\int_{a}^{b}xf(x)dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx}$

Pero, de nuevo, ¿hay una intuición geométrica más evidente? Gracias

Answer 1

Fíjate en la definición de centro de masa $x_c$ para dos partículas se reordena a

$$x_c = \Big(\frac{m_1}{m_1+m_2}\Big)x_1+\Big(\frac{m_2}{m_1+m_2}\Big)x_2$$

Llamemos a la proporción $(\frac{m_1}{m_1+m_2})$ " $W_1$ ". Puede interpretarse como el porcentaje de masa que el objeto 1 aporta al sistema, generalmente $(\frac{mass of object 1}{total mass})$ . Para convertir a unidades de porcentaje simplemente multiplica el decimal resultante por 100%. Observe que $W_1 \leq 1$ es decir, el objeto 1 (cualquier objeto) no puede aportar más del 100% de la masa del sistema.

En general, una media ponderada (media aritmética) $x_{av}$ de $n$ componentes es

$$x_{av} = w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n = \sum_{i=1}^{n} w_ix_i$$

donde $w_i$ es el peso (en sentido estadístico) del componente $x_i$ . Por comodidad, a menudo deseamos que los factores de peso estén normalizados, es decir,

$$\sum_{i=1}^{n} W_i = 1$$

Observe que aquí escribí $W_i$ los factores de peso normalizados, en lugar de $w_i$ que no están necesariamente normalizados.

Para su aplicación física de esta matemática, la masa $m_i$ del objeto $i$ corresponde al factor de peso "bruto" $w_i$ . Para normalizar los factores de peso (de modo que ninguno sea superior al 100%), dividimos el factor bruto por el peso total de todos los componentes:

$$W_i = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$$

o, para nosotros, el masa del objeto por el masa total del sistema:

$$W_i = \frac{m_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{m_i}{M}$$

(donde " $M$ " es una abreviatura común para la masa total del sistema que es, $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ .) Por eso nuestros factores de peso para calcular el centro de masa consisten en la masa del objeto dividida por la masa total del sistema. Para dos objetos ( $n=2$ ), el factor de peso $W_i$ para el objeto $i$ es por supuesto

$$W_i = \frac{m_i}{\sum_{i=1}^{2} m_i} = \frac{m_i}{m_1+m_2}$$

Así,

$$x_c = \Big(\frac{m_1}{m_1+m_2}\Big)x_1+\Big(\frac{m_2}{m_1+m_2}\Big)x_2 \\ = \sum_{i=1}^{2} \Big(\frac{m_i}{m_1+m_2}\Big) x_i \\ = \frac{\sum_{i=1}^{2} m_ix_i}{\sum_{i=1}^{2} m_i} \\ = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{2}x_im_i$$

He escrito algunas formas de $x_c$ anterior para que puedas reflexionar sobre cómo se construye esta expresión. Para el centro de masa general de un sistema de $n$ basta con sustituir $2$ con $n$ en la expresión final.

Yuxtapongamos explícitamente nuestra fórmula del centro de masa con la fórmula de la media ponderada para que quede claro:

$$x_{av} = \sum_{i=1}^{n} W_ix_i \\ \\ x_c= \sum_{i=1}^{n} \Big(\frac{m_i}{M}\Big) x_i$$

Así, el centro de masa es la media ponderada de la posición con respecto a la masa . $$\\ \\$$ P.D. Si el sistema tiene una distribución continua de masa en lugar de $n$ trozos discretos (como para cualquier objeto real que no esté siendo aproximado como una partícula puntual adimensional), en lugar de

$$x_c = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n}x_im_i$$

Podemos utilizar

$$x_c = \frac{1}{M} \int xdm$$

que surge cuando tomamos el límite como $n \to \infty$ . (Obsérvese que esta forma no es la más práctica de calcular, por lo que solemos hacer la sustitución $dm = \rho dV$ donde $\rho$ es la densidad del objeto, que puede variar con la posición).

Answer 2

Desde el punto de vista de las matemáticas, no hay más explicación. La fórmula $$(x°-x_1)M_1 = (x_2-x°)M_2$$ tiene que ser considerado como un axioma. La motivación proviene de la física, y está relacionada con la siguiente imagen de masas que se equilibran entre sí: