Suma de los dígitos de $N=5^{2012}$

Question

La suma de los dígitos de $N=5^{2012}$ se calcula.

A continuación, se calcula la suma de los dígitos de la suma resultante.

El proceso de cálculo de la suma se repite hasta obtener un número de una sola cifra.

¿Qué es este número de una sola cifra?

Answer 1

Quiere saber el valor de $5^{2012} \pmod 9$ .

Desde $\varphi(9) = 3^2 - 3 = 6$ y $\gcd(5,9) = 1$ Entonces, por el teorema de Euler, $5^6 \equiv 1 \pmod 9$ .

Desde $2012 = 335 \times 6 + 2$ , $$5^{2012} \equiv (5^6)^{335} \times 5^2 \equiv 1^{335} \times 25 \equiv 7 \pmod 9.$$

Answer 2

Si no se conoce el Teorema de Euler, podemos utilizar el Teorema del Binomio. En casting nines la suma de dígitos iterada es igual al resto mod $9$ que podemos calcular mentalmente como sigue

${\rm mod}\ \color{#c00}9\!:\,\ 5^n\equiv (-4)^n \equiv (-1)^n (1+3)^n \equiv (-1)^n(1 + 3n+ \color{#c00}{3^2}(\cdots))\equiv (-1)^n(1+3n)$

por lo tanto $\ n = 2012\,\Rightarrow\,5^n \equiv 1+3(2012)\equiv 1+3\,\underbrace{(2\!+\!0\!+\!1\!+\!2)}_{\large \rm cast\ nines}\equiv 16\equiv 7\,\pmod 9$

Answer 3

Pista : Se puede demostrar que si $d(n)$ denota la suma de dígitos de $n$ entonces $n$ es congruente con $d(n)$ mod 9. También, $N<10^{2012}$ implica $d(N)<9*2012<20000$ .

Answer 4

Sugerencia: si $s$ es la suma de dígitos de un número $a$ entonces $$s\equiv a\pmod 9.$$ Ahora todo lo que tienes que hacer es calcular $5^{2012} \pmod 9$ .

Answer 5

Dejemos que $f(n)$ denotan la suma de la suma de ... suma de dígitos de $5^n$ entonces:

$f(n)=\cases { 1 & $ n\equiv0\pmod6 $\\ 5 & $ n\equiv1\pmod6 $\\ 7 & $ n\equiv2\pmod6 $\\ 8 & $ n\equiv3\pmod6 $\\ 4 & $ n\equiv4\pmod6 $\\ 2 & $ n\equiv5\pmod6 $\\ }$

Por lo tanto: $2012\equiv2\pmod6 \implies f(2012)=7$ .