Utilizando la descomposición $641 = 5^4 + 2^4$ al factor $F_5$

Question

La pregunta del título surge de un problema en "Galois Theory, Third Edition" de Stewart (y posiblemente en otros lugares) que me ha estado molestando durante unos días desde que lo leí:

El problema 19.5 (p. 224) pregunta:

Use the equations

$641 = 5^4+2^4 = 5\cdot 2^7+1$

to show that 641 divides $F_5$.

Ahora bien, esta última expresión está relacionada con la demostración de Euler de su Teorema 8 en E134 y las ideas contenidas en la demostración de ese teorema son lo suficientemente sencillas como para llevar a que 641 sea un divisor candidato de $F_5$ que se puede comprobar fácilmente a mano o con una calculadora.

Sin embargo, el hecho de que Stewart incluya también la otra expresión me intriga; he estado intentando utilizar factorizaciones mediante sumas de dos cuadrados para ver cómo podría surgir esta expresión; por ejemplo, ya que \[ F_5 = 65536^2+1^2 = 62264^2+20449^2 \] se puede encontrar este factor como \[ 641 = \gcd (65536*62264-1*20449, 65536*20449+1*62264) \]

Pero este enfoque es insatisfactorio ya que

1). Stewart no menciona esta última descomposición de $F_5$ como suma de dos cuadrados

2). Este enfoque no utiliza la descomposición del factor potencial como una suma de dos cuadrados/cuartas potencias

Así que, ¿alguien más tiene una pista sobre qué teorema/enfoque puede haber pretendido Stewart al incluir esta descomposición? En particular, ¿hay otros teoremas menos conocidos que traten de la factorización de los números de Fermat expresando los factores potenciales como números de Fermat generalizados o algún otro enfoque similar que se haya sacado de la manga? ¿O incluyó Stewart esta expresión sin una buena razón (lo que parece dudoso dada la claridad de los enfoques que adopta en el resto del libro)?

BTW: En cuanto a por qué se publica esto aquí, aunque la pregunta que se hace en el libro no es ciertamente de nivel de investigación, la complejidad de los otros métodos utilizados para demostrar que el 641 es un factor candidato indican que si realmente hay una manera de utilizar la descomposición $5^4 + 2^4$ al factor $F_5$ En este caso, es probable que dicho método implique una matemática más profunda que es/era de nivel de investigación.

Answer 1

No se trata de matemáticas profundas. La prueba es la siguiente (véase, por ejemplo, W.A. Coppel, Number Theory: An Introduction to Mathematics, Springer, 2009, p. 160). Dado que $641=5\cdot2^7+1$ $=5^4+2^4$ tenemos $5\cdot 2^7\equiv -1 \;(\mathrm{mod}\; 641)$ y $2^4\equiv -5^4 \;(\mathrm{mod}\; 641)$ . Así, $$2^{32}=2^4\cdot 2^{28}\equiv -5^4\cdot 2^{28}=-(5\cdot 2^7)^4\equiv -(-1)^4=-1 \;(\mathrm{mod}\; 641).$$