¿Cómo probar esta serie sobre el número de Fibonacci?

Question

Cómo probar esta serie: no tengo ni idea de dónde empezar.

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{F_{n}}{2^{n}}=2$ $ donde $F_{1}=1,~F_{2}=1,~F_n=F_{n-1}+F_{n-2},~~n\geq 3$.

Answer 1

Sugerencia. Usted puede utilizar el hecho de que, si

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty F_nx^n \tag1$$

$F_n$ el nth número de Fibonnacci, $F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}$, entonces

$$f(x)={x\over 1-x-x^2}.\tag2$$

Una prueba de $(2)$ se puede encontrar aquí. Aplicarlo a $x:=\dfrac12$.