¿La estadística Piggy espera más tiempo cuando tiene prisa?

Question

El estadístico Piggy tiene que esperar un tiempo $T_0$ en la oficina de correos en una ocasión en la que tiene mucha prisa. Con el fin de investigar si el azar la hace esperar especialmente cuando tiene prisa, comprueba cuántas visitas hace a la oficina de correos hasta que tiene que esperar más que la primera vez. Formalmente, dejemos que $T_1, T_2, . . . $ sean los sucesivos tiempos de espera y $N$ sea el número de veces hasta que algún $T_k > T_0$ Es decir, $${N = k} = {T_j T_0, 1 j < k, T_k > T_0}$$ ¿Cuál es la distribución de $N$ bajo el supuesto de que $(T_n, n 0)$ son variables aleatorias continuas i.i.d.? ¿Qué se puede decir de $E(N)$ ?

Esta pregunta me confunde. ¿Tiene toda la información necesaria para resolverla? No se dice nada sobre la distribución de $T_i$ . La respuesta en mi libro es : $$P(N=n)=\frac{1}{n(n+1)}$$ que ni siquiera depende de $T_0$ que, según entiendo, es un tiempo determinado, no una variable aleatoria. ¿Dónde está el truco?

Answer 1

Se nos dice que el $T_i$ provienen de una distribución uniforme continua, aunque en realidad lo único que importa es que la distribución es continua para que no haya empates. Para tener $n$ sea la primera vez que el tiempo de espera supere $T_0$ debemos tener $T_n$ sea el mayor tiempo de espera y $T_0$ ser el segundo más grande. Si $T_0$ no es el segundo más grande que hemos superado antes. Si dibujamos $n+1$ números aleatorios, la probabilidad de que el último sea el mayor es $\frac 1{n+1}$ . Dado que lo es, la probabilidad de que el primero sea el segundo más grande es $\frac 1n$ Así que la posibilidad de que $n$ es la primera vez que superamos $T_0$ es $\frac 1{n(n+1)}$

Answer 2

Ross ya ha dado una buena respuesta; he aquí otra forma de verlo:

La probabilidad de que $T_0$ es el más largo de los $n$ veces $T_0$ a través de $T_{n-1}$ es $\frac1n$ . Así,

$$ \mathsf P(N\ge n)=\frac1n\;, $$

así que

\begin{eqnarray*} \mathsf P(N=n) &=& \mathsf P(N\ge n)-\mathsf P(N\ge n+1) \\ &=& \frac1n-\frac1{n+1} \\ &=& \frac1{n(n+1)}\;. \end{eqnarray*}