Mover el último dígito de $10k+9$ al frente, y obtener $70k+63$

Question

"N" es un número y su último dígito es 9. Borra el último dígito (9) y escribe (9) al primer dígito, el nuevo número es 7 veces "N".

¿Podría alguien indicarme cómo resolver estas tareas?

EDITAR:

Estos son mis pensamientos hasta ahora:

N := 10 x + 9 ( 1 )

donde 10 x es el valor ( entero ) de cualquier cosa menos el último 9. Ahora pon el 9 delante:

N ' := 9 * 10 ^ ( d - 1 ) + x = 7 N = 70 x + 63 ( 2 )

pero no sé cómo continuar desde aquí

EDIT2:

d es el número de dígitos de N.

Answer 1

Has hecho un buen comienzo. Su ecuación 2 es $9\cdot 10^{d-1}+x=70x+63$ o $x=\frac 9{69}(10^{d-1}-7)$ por lo que necesita $10^{d-1} \equiv 7 \pmod {69}$ Ahora puedes empezar a buscar. Aumentar $d$ multiplique por $10$ y reducir el resultado $\pmod {69}$ Comienza así $$\begin {array}{c | c}d-1&10^{d-1}\\ \hline 1&10\\2&10\cdot 10 =100 \equiv 31 \pmod {69}\\ 3&10 \cdot 34 = 310 \equiv 34 \pmod {69}\end{array}$$ Continúa hasta que llegues a $7$

Answer 2

N' := 7*N

si el último dígito de N = 9, entonces el último dígito de N es como el último dígito de 9*7, que es 3 (recuerde el acarreo de 6). El 3 es también el penúltimo dígito de N. 3*7+6 = 27 -> 7 es el siguiente número (2carry)

... y así sucesivamente, hasta que el siguiente Dígito sea 9 y el acarreo sea 0.

N Ü N'
9 6 3
3 2 7
7 5 1
1 1 2
2 1 5
5 3 6
6 4 5
5 3 9
9 6 6
6 4 8
8 6 0
0 0 6
6 4 2
2 1 8
8 5 7
7 5 4
4 3 3
3 2 4
4 3 0
0 0 3
3 2 1
1 0 9

N = 1304347826086956521739
N' = 9130434782608695652173

N2 = 13043478260869565217391304347826086956521 739
N2' = 91304347826086956521739130434782608695652 173

Si digo que N es un número dezimal entre 0 y 1 obtengo los mismos dígitos pero más rápido

n/10 + 0,9 = 7n + ε

n + 9 = 70n + ε

n = (9-ε)/69 = (3-ε)/23 = 3/23 - ε 

n = 0,(Period)1304347826086956521739 - ε 

n = 0,1304347826086956521739

Answer 3

Llamemos al número original $N$ y el número modificado $M$ . Así, $N$ termina con un 9 y $M$ comienza con un 9. Ya que $N = M\div 7$ podemos plantear un problema de división corto como el siguiente:

$$\require{enclose} \begin{array}{rl} & \ \,1\ldots\\ 7&\enclose{longdiv}{9\ldots} \end{array}$$

Aquí $N$ es el cociente y $M$ el dividendo. Vemos que $N$ comienza con el dígito 1, por lo que es el segundo dígito de $M$ :

$$\begin{array}{rl} & \ \,1\ldots\\ 7&\enclose{longdiv}{91\ldots} \end{array}$$

Ahora que sabemos el segundo dígito de $M$ podemos dividir un paso más, calculando el siguiente dígito de $N$ :

$$\begin{array}{rl} & \ \,13\ldots\\ 7&\enclose{longdiv}{913\ldots} \\ \\ & \ \,130\ldots\\ 7& \enclose{longdiv}{9130\ldots} \\ \\ & \ \,1304\ldots\\ 7& \enclose{longdiv}{91304\ldots} \\ \\ \end{array}$$

Debemos continuar así hasta llegar a un punto en el que el resto sea 0 y el cociente termine en 9. Esto ocurre primero en:

$$\begin{array}{rl} & \ \,1304347826086956521739\\ 7& \enclose{longdiv}{9130434782608695652173} \\ \\ \end{array}$$

Esta es la respuesta más pequeña. Si seguimos dividiendo hasta el siguiente punto de parada, podemos llegar a soluciones más grandes, como 91304347826086956521739130434782608695652173.

Answer 4

Requerimos $$y=7x$$ o en otras palabras $$9a_1a_2\dots a_n = 7(a_1a_2\dots a_n 9)$$ donde el $a_i$ representan dígitos decimales.

Multiplicando ambos lados por $10$ tenemos $$9a_1a_2\dots a_n 0 = 70x$$ o $$9\times 10^{n+1} + (x - 9) = 70x$$ o $$69x = 9\times 10^{n+1} - 9\,.$$ La respuesta no es única. Por ejemplo, $$x = 1,304,347,826,086,956,521,739$$ y $$x = 13,043,478,260,869,565,217,391,304,347,826,086,956,521,739$$ ambos tienen la propiedad deseada (estos corresponden a $n=21$ y $n=42$ respectivamente.