Convergencia de $ \int_{-\infty}^\infty \cos(x\log(\lvert x\lvert ))\,dx $

Question

Demuestre que la integral impropia $$ \int_{-\infty}^\infty \cos(x\log(\lvert x\lvert ))\,dx $$ es convergente.

Lo reescribí, usando la simetría de la función par del coseno, como el doble de la integral de cero a +infinito. Ahora el argumento de log es simplemente $x$ no $|x|$ .

Ahora, para hacer frente a $+infty$ Sustituyo mi límite superior por $R$ y evaluará el límite cuando R llegue a $\infty$ .

No hay ningún problema en el origen para $x\log x$ ya que creo que por la regla de l'hopital, esto se ve como una secuencia convergente - que converge a $0$ , como $x \to 0$ . Así que $\cos (x\log x)$ está bien definida para todos los $x$ .

¿Alguien tiene alguna idea inteligente sobre cómo proceder? Vi un método de integración por partes en este sitio para mostrar la convergencia de $\cos^3(x)$ (en la línea real positiva), así que probaré este método para $\cos(x\log x)$ . Si alguien tiene algún consejo interesante que ofrecer, no dude en compartirlo :).

Gracias,

Answer 1

Obsérvese que basta con considerar la convergencia de

$$ \int_{1}^{\infty} \cos (x \log x) \, dx. $$

Ahora dejemos que $f : [1, \infty) \to [0, \infty)$ por $f(x) = x \log x$ . Esta función tiene una inversa $g = f^{-1}$ que es diferenciable. Así que tenemos

$$ \int_{1}^{R} \cos (x \log x) \, dx = \int_{0}^{f(R)} g'(y)\cos y \, dy = \int_{0}^{f(R)} \frac{\cos y}{f'(g(y))} \, dy. \tag{1} $$

Observe que $f'(g(y)) = \log g(y) + 1$ es creciente y diverge a $+\infty$ como $y \to \infty$ . Así, como $R \to \infty$ se deduce que (1) converge a partir de la prueba de series alternas.

De hecho, para los grandes $R$ y $N = N(R) = \lfloor f(R) / \pi \rfloor$ se deduce que

\begin{align*} \int_{1}^{R} \cos (x \log x) \, dx &= \sum_{k=0}^{N-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\cos y}{f'(g(y))} \, dy + \int_{\pi N}^{f(R)} \frac{\cos y}{f'(g(y))} \, dy \\ &= \sum_{k=0}^{N-1} (-1)^{k} a_{k} + \mathcal{O}(a_{N}), \end{align*}

donde $a_{k}$ se define por

$$ a_{k} = \int_{0}^{\pi} \frac{\cos y}{f'(g(y + k\pi))} \, dy. $$

Answer 2

Hasta ahora todo lo que has hecho es correcto.

Creo que debería considerar un enfoque diferente a esta pregunta. Por lo que veo, no hay una forma cerrada para esta integral, pero has dicho que sólo necesitas demostrar que la integral es convergente.

No lo evalúes. ¿Conoces otras formas de demostrar que una integral converge?