La línea de dos polos conjugados forman un conjunto armónico

Question

Dejemos que $A,B$ sean dos puntos conjugados respecto a una circunferencia $K$ del centro $O$ y el radio $k$ y que $C,D$ sean los puntos de intersección de la línea $AB$ y el círculo $K$ . (A y B son conjugados si la polar de A pasa por B y la línea polar de B pasa por A).

Demostrar que $\{AB,CD\} = -1$ .

He pensado en utilizar O como punto de concurrencia, para poder calcular la relación cruzada en función de los ángulos formados, pero no consigo nada más al respecto.

Ahora dejemos que $T$ sea el punto de intersección de $AB'$ y $A'B$ , ahora $DT$ y $CT$ son líneas tangentes a K, porque $A,B,C,D$ son colineales, por lo que sus polares son concurrentes. He encontrado en internet que esto hace un conjunto armónico, pero no entiendo por qué. ¿Alguien podría explicarlo?

Answer 1

Reciprocación conserva las relaciones cruzadas. Esto es fácil de ver si se considera el hecho de que algebraicamente es sólo una multiplicación matricial aplicada a las coordenadas homogéneas de todos los puntos. Así que si escribo letras minúsculas para las líneas polares, tienes

$$\{AB,CD\}=\{ab,cd\}\tag1$$

La razón de cruz de cuatro rectas (concurrentes) es igual a la razón de cruz de los puntos de intersección que forman con cualquier otra recta (que no pase por su punto de concurrencia). En particular, se obtiene la misma razón cruzada si se cruzan estas líneas con $AB$ y consdier estos puntos de intersección:

$$\{ab,cd\}=\{BA,CD\}\tag2$$

Obsérvese cómo esto intercambia el orden de $A$ y $B$ . Así que si se combina $(1)$ y $(2)$ se obtiene

$$\{AB,CD\}=\{BA,CD\}\tag3$$

y la única manera de satisfacer esa ecuación con cuatro distinto puntos es a través de un conjunto armónico.