¿Versiones fraccionadas de espacio euclidiano?

Question

Este va a ser un poco vaga pregunta, pero voy a ser feliz si usted me lo permiten.

El espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ está equipado con una gran cantidad de niza (algebraica, métricas, topológicas,...), la estructura y tiene muchas buenas propiedades como tal, independientemente de la dimensión de $n$ (simple-conectividad, finito-dimensionalidad, abelianness, tener un uniforme de celosía, ser $\sigma$-finito medir el espacio, y la lista sigue...) . Me parece interesante para intentar encontrar geométrica/algebraica de los objetos con los no enteros de dimensión tratando de preservar todas las propiedades de la clásica espacio euclídeo como podemos.

Algunos pensamientos: la dimensión de un espacio vectorial es siempre un número entero así que vamos a olvidarnos de espacios vectoriales por completo (pero quedarse en $\mathbb{R}^n$ para algunos un gran $n$) y de interpretar la "dimensión" como "la dimensión de Hausdorff" (esto parece que la geometría intuitiva para mí, aunque soy consciente de que hay muchas otras nociones de dimensión en la $\mathbb{R}^n$ o general métrica espacios). Una forma de pensar de $\mathbb{R}^n$ está conectado, simplemente conectado localmente compacto Hausdorff topológico grupo, lo que me pregunto ahora si para todos los $\alpha > 0$ hay algunos "canónica", de un modelo topológico grupo (supone implícitamente a mentir en $\mathbb{R}^n$ algunos $n$) con estas propiedades y con la propiedad adicional de que es $\alpha$-dimensiones (en la dimensión de Hausdorff sentido). En el caso de que $\alpha$ es un entero positivo, es obvio lo que este modelo debe ser.

Answer 1

Un trivial métrica en el espacio de Hausdorff dimensión menor que 1 no puede ser conectado, así que sólo voy a ignorar ese caso.

Para $\alpha \ge 1$ considera a la familia de espacios métricos $(\mathbb{R}, d_\alpha)$ con $d_\alpha(x, y) = |x-y|^{1/\alpha}$. Con $\alpha = 1$ esto sólo le da la habitual estructura métrica.

Es fácil ver que la estructura topológica no depende de $\alpha$, porque la colección de todos los abiertos bolas sigue siendo el mismo; el mismo pelotas solo obtener diferentes radios. Esto significa que un campo topológico estos espacios son todos el mismo.

Cuando se trata de Hausdorff medir los espacios son muy diferentes. El más grande conjunto con $d_\alpha$-diámetro de la $\varepsilon$ es un intervalo de la longitud de la $\varepsilon^\alpha$. Claramente se tarda $\Theta(\varepsilon^{-\alpha})$ de estos intervalos en la cubierta de la unidad de intervalo. Desde pequeños intervalos de no proporcionar una más eficiente de la cubierta, esto significa que $(\mathbb{R}, d_\alpha)$ ha Hausdorff dimensión $\alpha$. De hecho, el $\alpha$-dimensiones de Hausdorff medida es igual a la medida de Lebesgue. (dar o tomar un factor constante)

Si hay una moraleja de esta historia, debe ser que la dimensión de Hausdorff dice muy poco acerca de topológico o estructura algebraica.