Por ejemplo, la completitud de los números reales se descubrió alrededor de 1800 y ahora $\mathbb{R}$ se considera un campo ordenado Dedekind-completo. ¿Es posible que un nuevo axioma sobre $\mathbb{R}$ ¿se descubrirá?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aunque el PO pregunta específicamente por $\mathbb{R}$ Voy a hablar un poco sobre el problema más general de los axiomas adicionales para las matemáticas en general. El caso de $\mathbb{R}$ juega un papel especial aquí, por supuesto, pero creo que ayuda a verlo en un contexto más amplio.
Dado que esta respuesta es bastante larga, voy a mencionar aquí mismo los distintos documentos/ diapositivas que existen Programa EFI de Harvard Creo que son bastante accesibles -en su mayoría- y serán de interés para el OP, y ciertamente hay mucho allí.
De hecho, existe un amplio debate sobre si las matemáticas en general necesitan axiomas adicionales. El tema de la problema de la continuidad es de especial interés, ya que es posiblemente el problema más natural de la teoría de conjuntos tras el descubrimiento de Cantor de las diferentes cardinalidades infinitas, pero se sabe que es independiente de la base teórica habitual de las matemáticas :
¿Existe un conjunto de números reales que sea incontable pero que no esté en biyección con todos los $\mathbb{R}$ ?
Por ejemplo, los resultados de la teoría descriptiva de conjuntos indican que cualquier conjunto de este tipo tendría que ser extremadamente complicado; ¿constituye esto una prueba para una respuesta negativa?
Pero hay muchos otros puntos de interés, y algunos candidatos a axioma común incluyen V=L , grandes cardenales (y su versiones "genéricas" ), axiomas forzosos y la hipótesis del modelo interno . Y este debate, tanto el específico sobre la CH (o la teoría de conjuntos de los reales en general) como el más amplio sobre las matemáticas en general, está ligado a la cuestión de la justificación de los propios axiomas de la ZFC. El axioma de elección es el objetivo obvio (con el axioma de determinación siendo el principal competidor) pero no el único, y hay sistemas fundacionales alternativos dramáticamente contrastados que han sido propuestos seriamente. Aunque el ZFC es el sistema dominante en la actualidad, esto podría cambiar (especialmente porque los sistemas basados en la teoría de categorías o tipos parecen funcionar mejor con los sistemas de pruebas informáticas, lo cual es un fenómeno que no se podía predecir cuando se introdujo y adoptó el ZFC), por lo que este aspecto de la cuestión no debería considerarse superado.
Se ha vertido demasiada tinta (física y digital) en torno a todo esto como para resumirlo aquí; lo mejor que puedo hacer es mencionar algunas fuentes de interés.
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El papel ¿Necesitan las matemáticas nuevos axiomas? es un punto de partida importante, y en mi opinión "Creer en los axiomas" de Maddy $1$ y $2$ debe leerse junto con estos: no es constructivo hablar de criterios para añadir nuevos axiomas sin recordar los criterios que usamos (o que ahora usamos retroactivamente) para justificar los axiomas existentes.
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Como se ha mencionado anteriormente, la CH desempeña un papel central en estos debates; el debate en esta pregunta de Mathoverflow es bastante técnico, pero una maravillosa riqueza de fuentes sobre el tema.
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También, como se mencionó anteriormente, el evento EFI de Harvard reunió a varias personas para discutir cuestiones de nuevos axiomas para las matemáticas y el significado de los enunciados matemáticos; las numerosas fuentes allí presentes serán de interés, incluso si se centran más en cuestiones de significado.
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Muchas de las fuentes mencionadas también hablan de grandes axiomas cardinales pero son lo suficientemente centrales en el debate como para que merezca la pena mencionarlos especialmente aquí. Los grandes principios cardinales tienen la interesante característica de ser demostrables no decidir la CH de una manera u otra (al menos, la gran mayoría de ellos), por lo que el estudio de los cardinales grandes como axiomas potenciales es ortogonal al problema de la CH. Hay un par de preguntas de stackexchange que discuten los casos a favor y en contra de los cardinales grandes; véase, por ejemplo aquí .
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Hay ejemplos de problemas combinatorios concretos discutibles que no pueden resolverse en ZFC y que, de hecho, están íntimamente ligados a los cardinales grandes; esto ha sido estudiado ampliamente por Harvey Friedman, y en su sitio web pueden encontrarse muchas fuentes sobre el tema. Desgraciadamente, los resultados son bastante técnicos, pero los principios que estudia pueden entenderse sin necesidad de conocimientos avanzados o demasiado esfuerzo (aunque que sean "naturales" es otra cuestión...) .
