Demostrar que el anillo primitivo derecho conmutativo es un campo

Question

¿Puede alguien sugerir cómo demostrar o probar la afirmación de que el anillo primitivo derecho conmutativo es un campo?

El anillo se define como un conjunto $(R,+,.)$ con dos operaciones binarias, que satisfacen los dos axiomas siguientes:

1) (R,+) - es un grupo abeliano con un elemento 0 no trivial

2) (R,.) es un semigrupo con unidad

3) también se satisface la identidad distributiva: $\forall Abbott,c, \in R, a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc $

Definición nº 2: Anillo $R$ se llama primitivo (derecho) si existe un módulo R derecho simple fiel

Definición nº 3: El módulo R derecho M se llama módulo fiel, si su aniquilador en el anillo R es igual a cero; es decir: $\forall r \in R, Mr= 0 \to r=0$

Answer 1

Dejemos que $S$ ser un derecho simple y fiel $R$ módulo.

Por el primer teorema de isomorfismo y el teorema de correspondencia, $S\cong R/T$ como un derecho $R$ para algún ideal máximo $T$ .

Pero $T$ aniquila $R/T$ Así que $T=\{0\}$ .

Dado que el cero es un ideal máximo si $R$ es un campo, hemos terminado.