distribución del resultado de un partido

Question

Considere un juego de disparos con las siguientes reglas

• si el jugador da en la diana (evento B) la ronda se detiene y el jugador puntúa +1;
• si el jugador no da en el blanco (evento M) la ronda se detiene y el jugador puntúa -1;
• si el jugador da en el blanco pero no en la diana (evento A) el jugador pierde 0,01 y vuelve a disparar.

Las tomas son independientes. Dejemos que $X_i$ sea la puntuación total en la ronda $i$ (que es la suma de las puntuaciones en cada ronda). La distribución de $X_i$ en una ronda determinada $n$ debe ser

• $P(X_n = 1 -(n-1)0.01)) = P(B)P(A)^{(n-1)}$ ;
• $P(X_n = -1 -(n-1)0.01)) = P(M)P(A)^{(n-1)}$ ;
• $P(X_n = -n0.01) = P(A)^n$ .

Sin embargo, estos no suman $1$ sino a $P(A)^{(n-1)}$ . ¿Qué estoy haciendo mal?

Naturalmente, $P(B) + P(M) + P(A) = 1$ .

Answer 1

No suman a $1$ porque existe la posibilidad de que el juego ya haya terminado antes de $n$ . ¿Adivina cuál es esa probabilidad? Sí, $1-P(A)^{(n-1)}$ .