Si $\mathbf {Z}$ es un vector aleatorio y $A$ es una matriz fija, ¿alguien podría explicar por qué $$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para un vector aleatorio (columna) $\mathbf Z$ con vector medio $\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$, la matriz de covarianza se define como $\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$. Así la matriz de covarianza de $A\mathbf{Z}$, cuyo vector medio es $A\mathbf{m}$, está dado por $$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$$
Jan Kukacka
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Añadiría a la respuesta de Dilip Sarwate que el mismo resultado se aplica también a la transformación de la forma $\mathbf{Z}A^T$: $$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$$
Utilizando el mismo enfoque: $$ \begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \ \end{align} $$
Usando $AB^TBA^T=BAA^TB^T$ en el paso (3): $$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \ &= B\left(BA^TA\right)^T \ &= BAA^TB^T \end{align}$$
