¿Expectativa del mínimo de dos variables aleatorias independientes?

Question

¿Cómo se calcula el mínimo de dos variables aleatorias independientes en el caso general?

En el caso particular habría dos variables uniformes con un soporte de diferencia, ¿cómo debe procederse?

EDIT: especificaba que eran independientes y que las variables uniformes no tienen obligatorio el mismo rango de soporte.

Answer 1

Vamos: $U = \min(X,Y)$, donde $\min(X,Y)\leq z$.

$Pr(\min(X,Y) > z) = Pr((X>z) \cap (Y>z))$.

$Pr(U>z) = Pr(X>z)*Pr(Y>z)$.

$Pr(U\geq z) = (1 - Fx(z))*(1 - Fy(z))$.

$Fu(z) = 1 - (1 - Fx(z))*(1 - Fy(z))$.

Así

$F_\min(x,y) = Fx(z) + Fy(z) - Fx(z)*Fy(z)$.