$f$ adecuado pero no universalmente cerrado

Question

Digamos que una función continua $f$ es universalmente cerrado si $f \times 1_T$ es cerrado para todos los espacios topológicos $T$ y llamar a una función adecuado si las imágenes inversas de los conjuntos compactos son compactas.

Sé que para la continuidad $f$ , $f$ universalmente cerrado implica $f$ adecuada. El ejercicio 3.6.14 de la obra de Ronnie Brown Topología y Groupoides nos pide que demostremos que para los continuos $f: X \to Y$ , $f$ implica que $f$ universalmente cerrado, siempre y cuando $f(X)$ es un Hausdorff $k$ -espacio.

¿Alguien conoce un contraejemplo cuando $f(X)$ no es un Hausdorff $k$ -espacio, suponiendo que esta hipótesis sea necesaria?

Answer 1

Dejemos que $D=\{0,1\}$ con la topología discreta, y que $K=\{0\}\cup\{2^{-n}:n\in\Bbb N\}$ con la topología que hereda de $\Bbb R$ . Dejemos que $X=K\times D$ . Definir una relación de equivalencia $\sim$ en $X$ al establecer $\langle x,i\rangle\sim\langle y,j\rangle$ si $\langle x,i\rangle=\langle y,j\rangle$ o $x=y\ne 0$ y que $Y=X/\!\!\sim$ . Sea $q:X\to Y$ sea el mapa cociente. Entonces $q$ es adecuado pero no está cerrado.

• $q$ es apropiado: Si $C\subseteq Y$ es compacto, entonces $C$ es finito, en cuyo caso $q^{-1}[C]$ es finito, o $C\cap q[\{0\}\times D]\ne\varnothing$ , en cuyo caso $\{0\}\times D\subseteq q^{-1}[C]$ . En cualquier caso $q^{-1}[C]$ es compacto.

• $q$ no está cerrado: Que $F=K\times\{0\}$ . Entonces $F$ está cerrado en $X$ pero $q(\langle 0,1\rangle)\in(\operatorname{cl}_Yq[F])\setminus q[F]$ Así que $q[F]$ no está cerrado en $Y$ .

$Y$ es una secuencia simple con dos límites; es compacta pero no Hausdorff.