Supongamos que $\sum_{j=1}^na_j<n^{1-\epsilon}$ para $\epsilon>0$ . Demostrar que $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}$ converge.

Question

Supongamos que para algunos $\epsilon>0$ que las sumas parciales de una serie son $\sum_{j=1}^na_j<n^{1-\epsilon}$ . Quiero demostrar que $\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n}$ converge.

No estoy seguro de conocer una prueba que aplicar para averiguar la convergencia de esta serie. La prueba de Abel no funciona porque $n^{1-\epsilon}$ no es un límite uniforme. No es obvio cómo usaría la prueba de Kummer porque no sé nada sobre la relación de los términos sucesivos. Lo único que se me ocurre es que seguramente $\displaystyle a_n<\sum_{j=0}^na_j<n^{1-\epsilon}$ Así que entonces $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n}<\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{1-\epsilon}}{n}$ pero esto no es muy útil ya que el de la derecha diverge :(

La única otra cosa que probé fue usar la suma por partes. Dejemos que $b_n=\frac{1}{n}$ entonces $$\sum_{j=1}^Na_jb_j=b_N\sum_{j=1}^Na_j + \sum_{n=1}^{N-1}\left(\sum_{j=1}^na_j(b_n-b_{n+1})\right)$$ $$\sum_{j=1}^N\frac{a_j}{j}<\frac{N^{1-\epsilon}}{N}+\sum_{n=1}^{N-1}n^{1-\epsilon}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ <\frac{1}{N^\epsilon}+\sum_{n=1}^{N-1}\left(1-\frac{n}{n+1}\right)$$ Pero además, la serie de la derecha es divergente cuando dejamos que $N\rightarrow \infty$ por lo que esto no fue de ayuda. ¿Hay alguna prueba clara que se pueda utilizar? ¿He cometido un error crítico?

Answer 1

Supongamos que $$ \sum_{k=1}^na_k\le n^{1-\epsilon}\tag1 $$ donde $a_n\ge0$ . Entonces $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}n &=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=n}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)a_n\tag2\\ &=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^k\frac1{k(k+1)}\,a_n\tag3\\ &\le\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\,k^{1-\epsilon}\tag4\\ &=\sum_{k=1}^\infty k^{-1-\epsilon}\tag5 \end{align} $$ Explicación:
$(2)$ : escribir $\frac1n$ como la suma de una serie telescópica
$(3)$ : cambiar el orden de la suma y $\frac1k-\frac1{k+1}=\frac1{k(k+1)}$
$(4)$ : aplicar $(1)$ y $\frac1{k(k+1)}\lt\frac1{k^2}$
$(5)$ : simplificar

La suma en $(5)$ converge para $\epsilon\gt0$ .

Answer 2

Denote $s_n=\sum_{k=1}^n a_j$ Por supuesto, tenemos ( $\epsilon>0$ ): $$ s_n\leq n^{1-\epsilon} \quad (1) $$

Utilizar la suma por partes con $a_n=s_n-s_{n-1}$ y $\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}=\tfrac{n}{n+1}$ obtenemos (el término del límite superior se puede despreciar ya que $s_n/n$ va a cero para grandes $n$ por la hipótesis (1)).

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{s_n}{n(n+1)}+a_1 $$ o por (1) $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}\leq \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{\epsilon}(n+1)}+a_1<\infty $$

lo que significa que la serie converge