Módulo libre tal que $R=R\oplus R$

Question

Me preguntaba si lo siguiente es correcto:

Dejemos que $V=\bigoplus_{i\in\mathbb N}\mathbb Z$ y $R=\text{Hom}_{\ \mathbb Z}(V,V)$ . Mira $R$ como $R$ -módulo. Entonces $R$ está libre de rango $1$ con base $\{\text{id}_{V}\}$ . Ahora define un mapa $\phi$ de la siguiente manera:

donde $f_i: V \to \mathbb Z$ para cada $f\in R$ son mapas lineales. Entonces $\phi$ es un isomorfismo de $R$ -módulos.

¿Puedo concluir lo siguiente?

(1) Ya que $\phi$ es un isomorfismo de $R$ -tenemos $R\cong R^2$ .

(2) Debido a (1) tenemos $R^n\cong R^m$ para cualquier $n,m\in\mathbb N$ .

(3) Debido a (2) tenemos que $R$ como $R$ -módulo está libre de rango $k$ para cualquier $k\in\mathbb N$ .

Answer 1

El problema es, como adivinó Greg Martin, que su $\phi$ es no $R$ -lineal . Dejemos que $1$ denotan $\mathrm{id}_V\in R$ y $f\in R$ arbitrario, entonces $$\phi(f\cdot 1) \ne f\cdot \phi(1)\ .$$