Estoy aprendiendo el proceso estocástico y me confunde la definición de variable aleatoria. Esto es lo que entiendo. Sabemos que los tres elementos básicos de un espacio de probabilidad es $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ y la función de probabilidad se define en $\mathscr{F}$ pero la variable aleatoria está definida en $\Omega$ . Y lo entiendo así, por ejemplo. Supongamos que el $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ y el $\mathscr{F}$ es $\{\{1, 2, 3\}, \{4, 5 ,6\}, \Omega, \varnothing\}$ . Puedo definir la probabilidad como $P(\{1, 2, 3\}) = P(\{4, 5 ,6\}) = 0.5$ pero no puedo definir la variable aleatoria en $\Omega$ porque no hay ningún elemento en $\Omega$ que satisface $\{\omega : X(w) \leq x \} \in \mathscr{F}$ .
Respuesta
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Una variable aleatoria es una función $X: \Omega \to \mathbb{R}$ que es medible con respecto a las medidas $\mathcal{F}$ y $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ . Esto equivale a $X$ verificando que para cada $x\in \mathbb{R}$ se sostiene que $X((-\infty , x]) = \{\omega \in \Omega : X(\omega) \leq x\} \in \mathcal{F}$ . Tenga en cuenta que esta definición no implica su función de probabilidad $P$ . Si encuentra un $x \in \mathbb{R}$ de tal manera que no $\omega$ en $\Omega$ satisface $X(\omega) \leq x$ entonces $\{\omega \in \Omega : X(\omega) \leq x\} = \varnothing$ . Pero $\varnothing \in \mathcal{F}$ Así que encontrar tal $x$ no demuestra que $X$ no es una variable aleatoria sobre $(\Omega, \mathcal{F})$ .
Para un ejemplo de una variable aleatoria en el álgebra de sigma que ha definido, considere $X$ tal que $X(\omega)= 7$ si $\omega \in \{1,2,3\}$ y $X(\omega)= 15$ si $\omega \in \{4,5,6\}$ . Entonces tenemos eso:
$$\{\omega \in \Omega : X(\omega) \leq x\}=\left\{ \begin{array}{c} \varnothing \quad \text{ if }(x) < 7 \\ \{1,2,3\} \quad \text{ if } 7 \leq x < 15 \\ \Omega \quad \text{ if } x \geq 15 \\ \end{array} \right.$$
Así que el conjunto $\{\omega \in \Omega : X(\omega) \leq x\}$ es medible para cada $x\in \mathbb{R}$ y por lo tanto $X$ es medible.
