Algunos problemas del libro 'A course in Probability Theory', K.L. Chung

Question

Q1.(página10.6) Un punto $x$ se dice que pertenece al soporte de la d.f.(función de distribución) $F$ si para cada $\epsilon>0$ tenemos $F(x+\epsilon)-F(x-\epsilon)>0$ . El conjunto de todos estos $x$ se llama el soporte de $F$ . Demuestre que ezch punto de salto pertenece al soporte, y que cada punto aislado del soporte es un punto de salto. Dar un ejemplo de una f.d. discreta cuyo soporte es la línea entera.

No puedo demostrar la segunda afirmación: cada punto aislado del soporte es un punto de salto.

P2.(página12.3) Si el soporte de una f.d. es de medida cero entonces $F$ es singular. Lo contrario es falso.

No puedo construir un contertulio adecuado

Answer 1

(1) El ejemplo de Chung [Ejemplo 2. en el $3^d$ página]: Tomar una ordenación de los racionales y asignar la distribución geométrica al conjunto ordenado de racionales. Sea $b_1=\frac{1}{2}, b_2=\frac{1}{4},...b_n=\frac{1}{2^{n}},...$ , donde $b_n$ es la masa asignada al $n^{th}$ racional, $a_n$ . Todos los reales pertenecen al soporte del correspondiente $F$ porque para cualquier $\epsilon>0$ hay racionales en el intervalo $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ Es decir $F$ salta infinitas veces dentro de ese intervalo. Así que el soporte de este $F$ es toda la línea real.

(2) La definición de Chung [ $11^{th}\ page]$ ]: Una función es singular si no es idéntica a cero y su derivada sale y es cero a.e.

Teorema de Chung [ $1.3.1 (a)$ , $12^{th}$ ] página: Si una función es creciente, tiende a cero si $x$ tiende a la $-\infty$ y está acotada entonces su derivada existe a.e. ( ${+\infty}$ como valor de la derivada está permitido).

El ejemplo de Chung anterior describe una función de este tipo: es monótonamente creciente y acotada, y tiende a cero si $x$ va a la $-\infty$ es decir, su derivada existe a.e. La derivada es cero en los puntos irracionales ( Esto no lo puedo probar, pero habiendo leído el primer capítulo de Chung no puedo llegar a otra conclusión. ) y es ${+\infty}$ en los racionales. Es decir, tenemos una función singular cuyo soporte es toda la recta real aunque sea singular.

$$Edited$$

La definición de singularidad se ha dado anteriormente. En cuanto a la discreción: Chung dice en el $10^{th}$ página "Una definición plausible de una f.d. discreta nos puede dar: >>Es una f.d. que tiene saltos y es constante entre los saltos<<". Esto significa que la derivada es a.e. cero ya que sólo hay un número contable de saltos. Es decir, tal f.d. es singular.

Answer 2

La solución editada publicada por zoli sólo es válida cuando la f.d. discreta es "discreta en la topología euclidiana", es decir, si todos los puntos de salto están aislados. La pregunta 5 de la página 10 pide al lector que describa por qué esa "definición plausible" es incorrecto . No es correcto porque los puntos de salto pueden ser densos en , en cuyo caso dos puntos de salto cualesquiera tendrán un punto de salto entre ellos, por lo que "constante entre saltos" no tiene sentido.

Si los puntos de salto son densos, entonces no es inmediato que una f.d. discreta sea singular. ¿Cómo sabemos que los saltos que se acercan a cada número en no inducen una derivada positiva?

Para ver que es singular, toma los siguientes datos del texto.

Si $F$ es un f.d. entonces $F$ puede escribirse como $$F = F_{ac} + F_s$$ donde $F_s$ es singular, y $$0 <= F_{ac}(x) = \int_{-\infty}^{x}F'(t)dt <= F(x)$$

Entonces, dejemos que $F$ sea una f.d. discreta y fije $\epsilon > 0$ . Dejemos que $\{ a_i \}$ sea una enumeración de todos los tamaños de salto. Dado que $F$ es discreto, $$ \sum_{i = 1}^{\infty}a_i = 1 $$ y hay algo de $N$ tal que $$ \sum_{i = 1}^{N}a_i > 1 - \epsilon $$ Dejemos que $J = \sum_{i = 1}^{N} a_i\delta_i$ donde $\delta_i$ es la función punto-masa definida en el texto para construir f.d. discretas. Dado que $N$ es finito, $J$ es, de hecho, "discreto en la topología euclidiana", con valores constantes entre puntos de salto aislados, por lo que $J' = 0$ casi en todas partes.

Ahora, dejemos que $G = F - J$ , esencialmente F sin los puntos de salto que la sitúan dentro de $\epsilon$ de 1, por lo que $G(x) < \epsilon$ para todos $x$ y: $$F_{ac}(x) = \int_{-\infty}^{x}F'(t)dt = \int_{-\infty}^{x}G'(t)dt + \int_{-\infty}^{x}J'(t)dt = \int_{-\infty}^{x}G'(t)dt + 0 <= G(x) < \epsilon$$ $\epsilon$ y $x$ son arbitrarios y $F_{ac} >= 0$ Así que $F_{ac} = 0$ .

De lo anterior, $F = F_{ac} + F_s = 0 + F_s$ que es singular, lo que demuestra Q6.

Por último, el contraejemplo a la inversa en Q2 es una f.d. discreta que es densa en algún subconjunto, $S$ de dónde $m(S) > 0$ .