lógica de predicados - contraejemplo $(A \models \phi \implies A \models \psi) \implies A \models \phi \rightarrow \psi$

Question

Es lógica de predicados y necesito encontrar un contraejemplo para refutar la siguiente afirmación

$(A \models \phi \implies A \models \psi) \implies A \models \phi \rightarrow \psi$

Answer 1

Algunas personas definen un fórmula (con ocurrencias libres de variables) para que sea verdadera en la estructura $A$ si el frase obtenido al cuantificar universalmente estas variables es cierto en $A$ . Entonces pueden ocurrir cosas molestas, por lo que prefiero no hacerlo.

Para un ejemplo informal, veamos $A$ sean los números naturales, y que $\phi(x)$ sea la fórmula que dice $x$ es par, y que $\psi(x)$ sea la fórmula que dice $x$ es impar. (No es difícil escribir las fórmulas apropiadas.) Entonces no es el caso que $\phi$ es cierto en $A$ . De ello se desprende que $A \models \phi \implies A \models \psi$ es cierto. Pero $ A \models \phi \rightarrow \psi$ es falsa, ya que no se da el caso de que para todo $x$ Si $x$ es incluso entonces $x$ es impar.

Observación: Expresando la conmutatividad de la suma como $x+y=y+x$ en lugar de $\forall x\forall y(x+y=y+x)$ es una abreviatura útil. Sin embargo, edificio esa abreviatura en la lógica introduce complicaciones, como se ilustra en el ejemplo anterior.

Answer 2

No creo que haya ningún contraejemplo.

Supongamos que $A \models \phi \rightarrow \psi$ es falso. Esto sólo puede ocurrir si $A \models \phi$ y $A \not\models \psi$ . Por lo tanto, $(A \models \phi \Rightarrow A \models \psi)$ es falso.