¿Cómo comprobar si dos segmentos de línea (3D) son colineales o no?

Question

Si tenemos dos segmentos de línea en 3D, ¿cuál sería la forma de comprobar si estas dos líneas son colineales o no? (Me olvidé de mencionar que mis segmentos de línea son 3D. Así que he editado el post original. Perdón por las molestias) Quiero comprobar la dirección de las líneas y la distancia perpendicular entre ellas. ¿Son estos dos factores suficientes para decidir si 2 segmentos de línea son colineales o no? Gracias de antemano.

Answer 1

Un método alternativo. Supongamos que $PQ$ y $RS$ son los segmentos de línea. Dejemos que el cosenos de dirección de los vectores $\mathbf{u=} \overrightarrow{PQ}$ y $\mathbf{v=}\overrightarrow{RS}$ respectivamente, $\alpha _{u},\beta _{u},\gamma _{u}$ y $\alpha _{v},\beta _{v},\gamma _{v}$ . El ángulo $\phi$ entre los segmentos de la línea es tal que $^{1}$ $$\begin{equation*} \cos \phi =\alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}+\gamma _{u}\gamma _{v}. \end{equation*}$$

Por lo tanto, los segmentos de la línea son colineales si $\cos \phi =\pm 1$ .

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$^{1}$ Fórmula 10.7 de Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas , Coleção Schaum, traducción al portugués de la serie Schaum's Outline Manual matemático de fórmulas y tablas 2/e de Murray Spiegel y John Liu.

Answer 2

Sí, esos dos factores son suficientes. Para que los segmentos sean colineales, primero sus direcciones deben ser las mismas, y después su distancia perpendicular debe ser cero.

Alternativamente, si tienes la primera condición, sólo necesitas que tengan $one$ punto en común

Answer 3

Si los dos segmentos de línea $AB$ y $CD$ están dados por 4 puntos distintos A, B, C y D, también es suficiente que ambos $AB \parallel CD$ , $AC \parallel BD$ y $AD\parallel BC$ .

Para ver si $A(a_1,a_2)B(b_1,b_2) \parallel C(c_1,c_2)D(d_1,d_2)$ , se comprueba si $\vec{BA} = B-A$ y $\vec{DC} = C-D$ son vectores linealmente dependientes.

Por tanto, los dos segmentos de línea están contenidos en la misma línea si $$\begin{cases} (a_1-b_1)(c_2-d_2) - (c_1-d_1)(a_2-b_2) = 0 \\ (a_1-c_1)(b_2-d_2) - (b_1-d_1)(a_2-c_2) = 0 \\ (a_1-d_1)(c_2-b_2) - (c_1-b_1)(a_2-d_2) = 0 \end{cases}$$

Answer 4

Puedes escribir la ecuación de una recta y comprobar si los dos extremos de la otra se encuentran en ella.