Demostrar que para un movimiento browniano B el tiempo de golpeo es un tiempo de parada.

Question

Como en el título, tengo que demostrar que para un movimiento browniano B el tiempo $$ \tau_x = \inf \{t\geq 0 : B(t)=x \} $$ es un tiempo de parada. Parece obvio intuitivamente pero me cuesta la demostración formal. Sé que la variable aleatoria $\tau$ es un tiempo de parada para una filtración determinada $(\mathcal{F}_t)$ , $t\in T$ si $$ \{\tau \leq t \}\in \mathcal{F_t} \hspace{0.2cm} \forall t\in T. $$ Sin embargo, no puedo realizar una prueba formal (todavía soy nuevo en la teoría de la probabilidad).

También tengo que probar esa colección $\mathcal{F_t}$ asociado a un tiempo de parada $\tau$ es un $\sigma$ -Álgebra. Tengo el mismo problema: Sé lo que es un $\sigma$ -álgebra es pero no sé cómo mostrar la propiedad requerida.

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

$$\{\tau_x\leq t\}=\{\max_{k\leq t}B_k\geq x\}.$$

$$\mathcal{F}_t=\sigma(B_s: 0\leq s\leq t).$$

Por definición de la filtración, $\{B_k\geq x\}\in \mathcal{F}_t$ para todos $k\in [0,t]$ . Así que es un tiempo de parada.

Más detalles:

La función $B(t,\omega):=B_t(\omega)$ es medible con respecto al producto álgebra sigma $\mathcal{B}\times \mathcal{F}_t$ , donde $\mathcal{B}$ es el álgebra sigma de Borel (generada por intervalos abiertos). Esperemos que esto sea algo que hayas comprobado en tu clase (o quizás lo hayas dado por supuesto). Si no es así, vea El lema 1.1 de este para los detalles. Entonces, al igual que en el análisis real clásico, si $f_n$ es medible, entonces también lo es $\sup_n f_n, \max_n f_n$ etc.