Producto de dos series de potencias

Question

Digamos que si defino una serie de potencias sobre algún campo arbitrario $F$ como

$$a = \sum^{ \infty }_{i = 0} a_{i} X^{i} $$

Entonces puedo decir:

$$ab = \sum^{ \infty }_{i = 0} \sum^{ \infty }_{j = 0} a_{i} b_{j} X^{i + j} $$

Answer 1

Sí, utilizando la noción natural de convergencia para las series de potencias formales, la suma indicada converge efectivamente al producto de Cauchy. Hay que tener en cuenta -como se ejemplifica en este hilo- que existe una confusión generalizada sobre formal contra. funcional series de potencia - incluso por algunos expertos (en otros campos). Rota solía bromear en sus conferencias sobre ciertos distinguidos matemáticos que publicaban completos disparates basados en dicha confusión ( ¡Pensamientos Indiscretos! )

En cualquier caso, las ideas básicas son bastante sencillas si te quitas el sombrero de analista y te pones el de algebrista o combinador. En particular, debería poder encontrar una discusión correcta de la convergencia de las series de potencia formales en casi cualquier buen libro de combinatoria o de funciones generadoras, por ejemplo, aquí hay un extracto del clásico de Stanley $\: $ Combinatoria Enumerativa I.

Answer 2

Sí, se puede: esta es la definición del producto de las dos series formales de potencias $a$ y $b =\sum_{i=0}^\infty b_i X^i$ .

Answer 3

No si se trata de multiplicar $a$ por una serie de potencia formal definida de forma similar $b$ . La multiplicación de las series de potencias formales se puede escribir como $ab = \sum_{i=0}^{\infty}(\sum_{j=0}^ia_jb_{i-j})X^i$