Prueba el mapa $\Phi:G\to\operatorname{Aut}G$ con $g\mapsto (x\mapsto g^{-1}xg)$ es un homomorfismo.

Question

Según esto artículo ,

Un homomorfismo de grupo es un mapa $f:G \rightarrow H$ entre dos grupos de manera que se conserve la operación: $f(g_{1}g_{2}) = f(g_{1})f(g_{2})$ para todos $g_{1}, g_{2} \in G$ donde el producto del lado izquierdo está en $G$ y en el lado derecho está $H$ .

Pregunta

Sea G un grupo y sea $Aut(G)$ sea el grupo de automorfismos de G.

(a) Para cualquier $g \in G$ definir $\phi_{g} : G \rightarrow G$ por $\phi_{g}(x)=g^{-1}xg$ . Compruebe que $\phi_{g}(x)$ es un automorfismo.

(b) Considere el mapa

$\Phi : G \rightarrow Aut(G)$

$g \mapsto \phi_{g}$

Compruebe que $\Phi$ es un homomorfismo.

Mi intento

Hice la primera parte.

Ahora, necesito hacer la segunda parte de este problema. Aquí está mi intento para el segundo problema.

Obsérvese que si evaluamos $\Phi$ en $gh$ con un $x$ entonces:

$\Phi(gh) = \phi_{gh}(x) = (gh)^{-1}x(gh) = h^{-1}(g^{-1}xg)h = h^{-1}\phi_{g}(x)h = \phi_{h}(\phi_{g}(x))$ .

El problema es que estoy atascado con esta parte. Creo que el funcionamiento de esa $\Phi$ sería la composición de dos funciones.

Otra reflexión: No tendría sentido decir eso:

$\Phi(gh) = \Phi(g)\Phi(h)$

porque,

$\Phi (gh) = h^{-1}g^{-1}xgh$

Pero

$\Phi(g) = g^{-1}xg$

$\Phi(h) = h^{-1}xg$

$\Phi(g)\Phi(h) = g^{-1}xgh^{-1}xh$

El problema es que se supone que G no es abeliano (Bueno, si lo es, entonces la igualdad se mantiene). Entonces, no podemos tomar el producto de $\Phi$ para que coincida con $\Phi_{gh}$ . Si estoy en lo cierto, la solución a la segunda parte de este problema es distinta a la de la primera.

¿Algún comentario o sugerencia?

Answer 1

Lo que tienes es un antihomorfismo, como has demostrado. Esto se debe a que estás utilizando la conjugación por $g^{-1}$ .

En realidad, deberías mirar la función $\Phi$ que asigna un elemento $g\in G$ a un función , es decir, que quien envía $x$ a $gxg^{-1}$ . Así que podemos escribirlo como $g\mapsto \phi_g$ donde $\phi_g(x)=gxg^{-1}$ .

La cuestión es si se trata de un homomorfismo. Así que tomemos $h,g\in G$ . Entonces $\Phi(hg)$ es una función que mapea $x$ a $$(hg) x(hg)^{-1}=h(gxg^{-1})h^{-1}$$ Pero esto puede verse como la composición de la función $\phi_h$ que envía $x\mapsto hxh^{-1}$ con lo que envía $x\mapsto gxg^{-1}$ porque $$\phi_h\circ \phi_g(x)=h(g xg^{-1})h^{-1}$$ De ello se desprende que $$\Phi(hg)=\phi_{hg}=\phi_h\circ \phi_g=\Phi(h)\circ \Phi(g)$$ Recuerde que nuestra operación de grupo en $\rm Aut $ es la composición de funciones.

Answer 2

En primer lugar, creo que estás confundiendo la función $\Phi$ con $\phi$ . Tenemos $\phi_g: x \mapsto g^{-1}xg$ pero $\Phi: g \mapsto \phi_g$ .

Pero en realidad el uso de la función $\phi$ como se define, creo que obtenemos un antihomorfismo para que $\Phi(gh) = \Phi(h)\Phi(g)$ . Utilizando $\phi_g = gxg^{-1}$ daría el homomorfismo.

Answer 3

Poner $\Phi:g\longmapsto \phi_{g^{-1}}$

Answer 4

Creo que el principal problema es la forma en que el funcionamiento interno en $\operatorname{Aut}(G)$ se define.

Dejemos que $*:\operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Aut}(G)$ sea una operación interna en $\operatorname{Aut}(G)$ , donde $f*g:=g \circ f$ . Es fácil demostrar que $(\operatorname{Aut}(G), *)$ es un grupo.

Ahora, si hacemos el mismo razonamiento, obtenemos:

$$ \Phi(gh) = \phi_{gh}(x) = (gh)^{-1}x(gh) = h^{-1}(g^{-1}xg)h = h^{-1}\phi_{g}(x)h = \phi_{h}(\phi_{g}(x))=(\phi_{h}\circ\phi_{g})(x) $$

Pero entonces, tenemos que $(\phi_{h}\circ\phi_{g})(x)=\phi_{g}*\phi_{h}=\Phi(g)*\Phi(h)$ . Lo que significa que $\Phi$ es un homomorfismo de grupo.