Valor de un juego de suma cero

Question

He estado buscando en la red algo de información sobre los juegos de suma cero, pero creo que no entiendo del todo el principio; Si consideramos la matriz (simple): $$\begin{pmatrix}\pi&0 \\ 0&e \end{pmatrix}$$

¿Cómo puedo determinar el valor de este juego de suma cero?

¿Es ésta la posible respuesta correcta en relación con este ejemplo?

Llamemos a la primera fila R1, a la primera columna C1 y así sucesivamente.

Entonces, la expectativa para R1 es $\pi \cdot p_1$ . Entonces, la expectativa para R2 es $e \cdot p_2$ .

Ahora tengo que maximizar: $min(E(R1),E(R2))$ , lo que implica $p_1=e:p_2=\pi$ .

Así que vemos $p_1=0.464$ y $p_2=0.536$

Podemos hacer lo mismo para C1,C2, que dará los mismos números.

Por lo tanto, creo que el valor de este juego es $0.464 \cdot \pi=1.457= 0.536 \cdot e$

¿Está bien? Gracias por comprobarlo.

Answer 1

Denotaremos las estrategias mixtas del primer jugador por $(p, 1- p)$ y del segundo jugador por $(q, 1 - q)$ y la función de pago determinada por su matriz por $g$ . Para el primer jugador, tenemos que calcular $$ V = \max_{0 \leq p \leq 1} \min_{0 \leq q \leq 1} g((p,1-p),(q,1-q)) = \max_{0 \leq p \leq 1} \min_{q \in \{0,1\}} g((p,1-p),(q,1-q)). $$ Eso es, $$ V = \max_{0 \leq p \leq 1} \min \{ p\pi, (1-p)e \}. $$ Al trazarlo, tenemos

Así vemos que el max-min se alcanza sólo en la intersección de $p\pi$ y $(1-p)e$ es decir, cuando $p = \frac{e}{\pi + e} \approx 0.464$ y el valor del juego es el pago en $(p,1-p)$ así que $V = \frac{\pi e}{\pi + e} \approx 1.457$ .