¿De cuántas maneras puedo ordenar 5 As, 6 Bs y 3 Cs

Question

Con el requisito de que $A$ precede a la primera $B$ que precede a la primera $C$ .
Ejemplo: $AABABCBBAACBCB$ es correcto y $BAAACBAACBCBBBB$ es incorrecto.

Estoy pensando en utilizar la permutación, obtener el número total de formas de ordenarlas y dividir la repetición.

Hay $14$ espacios, $5$ formas de colocar la primera ( $5As$ ), $10$ formas de colocar el segundo $4As + 6Bs$ Pero, ¿cuántas formas de colocar $3rd$ , $4th$ ¿y el resto?

Answer 1

Primero ignoramos el $A$ y construir el resto de la cadena. ¿De cuántas maneras podemos hacer una cadena de $6$ $B$ y $3$ $C$ de tal manera que el primer $B$ viene antes de la primera $C$ ? Bueno, la primera letra tiene que ser una $B$ y después todo vale; esto da $\binom{8}{5}$ tales cadenas ( $8$ las letras restantes para colocar, $5$ de los cuales son $B$ y $3$ de los cuales son $C$ 's).

Ahora queremos añadir $A$ en esta cadena. Tenga en cuenta que la primera letra tiene que ser un $A$ y luego el otro $4$ $A$ pueden colocarse en cualquier lugar de nuestra cadena existente. Si tratamos el $B$ y $C$ (que ya hemos arreglado) como divisores, vemos que esto es realmente un estrellas y barras problema con $6+3+1$ categorías (hay $9$ $B$ y $C$ 's, así que $10$ "puntos" para poner $A$ 's, incluyendo antes/después de todos ellos). Así que el número de formas de poner $A$ en la cadena es $\binom{9 + 4}{4}$ .

Juntando todo esto, el número total de estas cadenas es $\binom{8}{5} \binom{13}{4} = 40040$ .