Demostración de un caso especial del teorema del binomio: $\sum^{k}_{m=0}\binom{k}{m} = 2^k$

Question

Quiero saber si me pueden ayudar con esta prueba. Lo he intentado, pero no consigo $2^{k}$ . En él se dice que,

Para $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ , $$\sum^{k}_{m=0}\binom{k}{m} = 2^k$$

Gracias.

Answer 1

El lado derecho es el número de subconjuntos de un conjunto con $k$ elementos. El lado izquierdo da una suma del número de subconjuntos de un conjunto con $k$ elementos que tienen $0$ elementos, entonces $1$ elemento, entonces $2$ elementos, etc., hasta los subconjuntos con $k$ elementos.

Dejando esto de lado, esto se deduce de la aplicación del teorema del binomio de una manera que podría parecer un truco. He aquí otro ejemplo para motivar esto. Si $k\geq 1$ entonces $${k \choose 0}-{k \choose 1}+{k \choose 2}\mp\cdots +(-1)^k{k \choose k}=0.$$ Esbozo de prueba: Expandir $(1-1)^k$ utilizando el teorema del binomio.

Podrías utilizar la inducción y la fórmula factorial para los coeficientes del binomio, pero no te recomiendo que lo hagas. Sin embargo, utilizando la inducción y la identidad de Pascal ${k\choose {m-1}}+{k\choose m}={{k+1}\choose m}$ funcionaría bien. Considere la posibilidad de bajar una fila en el triángulo de Pascal para motivar la prueba. Cada entrada de la fila $k$ se suma dos veces para obtener las entradas de la fila $k+1$ , por lo que la suma de las entradas se duplica.

Answer 2

Tome la expansión binomial de $(1+x)^k$ .

\begin{equation} (1+x)^k = \sum_{m=0}^k \binom{k}{m} x^{k-m} \end{equation}

La expansión anterior es válida para todos los valores de $x$ y para todos $k \geq 0$ . Sustituir $x=1$ y tienes el resultado.

Answer 3

Puedes usar la inducción.

$$\binom{k}{m}=\binom{k-1}{m-1}+\binom{k-1}{m}$$ es cierto para $k\in\mathbb{Z}_{>0}$ y $m\in\mathbb{Z}$ .

Aquí: $$\binom{k}{m}:=0$$ si $m\notin\left\{ 0,\ldots,k\right\} $ .

Así que: $$\sum_{m\in\mathbb{Z}}\binom{k}{m}=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\binom{k-1}{m-1}+\sum_{m\in\mathbb{Z}}\binom{k-1}{m}=2^{k-1}+2^{k-1}=2^{k}$$

Answer 4

El LHS de la ecuación cuenta el número de subconjuntos de un conjunto de $k$ elementos. El lado derecho de la ecuación es una fórmula bien conocida para ello.