Rango de un polinomio no constante sobre números complejos

Question

Si $ P : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $ es un polinomio no constante, ¿cuál es el rango de $P$ ? Prueba esto.

¿El rango no sería todo $\mathbb{C}$ ? Si es así, creo que puedo demostrarlo usando la contradicción, asumiendo que el rango es $\mathbb{R}$ y luego demostrar que existe alguna $z_0$ tal que $P(z_0)$ no está en $\mathbb{R}$

Cualquier ayuda sería estupenda.

Gracias.

Answer 1

Utilizando el teorema fundamental del álgebra, obtenemos una solución fácil. Sea $w\in\mathbb{C}$ . Entonces $P-w$ es un polinomio no constante, por lo que tiene un cero $z_0$ (por la FTA). Esto significa que $P(z_0)=w$ y así $P$ es suryente.