El número $2^{3^n}+1$ es divisible por $3^{n+1}$ y no divisible por $3^{n+2}$ .

Question

Demostrar que para cada $n\in \mathbb N$ , $2^{3^n}+1$ es divisible por $3^{n+1}$ y no divisible por $3^{n+2}$ .

Pude demostrar que $2^{3^n}+1$ es divisible por $3^{n+1}$ utilizando la inducción.
En primer lugar, compruebo si la afirmación es verdadera para $n=1$ . La afirmación es válida ya que: $$2^{3^1}+1=9$$ $$3^{1+1}=9$$ En segundo lugar, asumo que la afirmación es verdadera para cada $n\in \mathbb N$ .
Por último, tomo que $n=n+1$ . A partir de ahí, la expresión original se convierte en $(2^{3^n})^3+1$ que es una suma de cubos, y lo mismo que: $$(2^{3^n}+1)((2^{3^n})^2-2^{3^n}+1)$$ Como supuse que $2^{3^n}+1$ es divisible por $3^{n+1}$ y uno de los factores es $2^{3^n}+1$ la expresión completa debe ser divisible por $3^{n+1}$ por lo que la afirmación es verdadera para cada $n\in \mathbb N$ .

Ahora, no sé cómo probar que $2^{3^n}+1$ no es divisible por $3^{n+2}$ . Por favor, explique cómo puedo hacerlo paso a paso, sin utilizar términos complicados.

Answer 1

Dejemos que $$A_n = 2^{3^n}+1.$$ La afirmación es válida para $n=0$ y desde entonces: $$A_{n+1} = (A_n-1)^3+1 = A_n^3 -3A_n(A_n-1)$$ tenemos que $\nu_3(A_{n+1}) = 1+\nu_3(A_n)$ ya que $9\mid A_n^3$ y $3\mid 3A_n$ pero $3\nmid (A_n-1)$ .