Spivak "Cálculo sobre Múltiples" observaciones sobre el Teorema de Fubini

Question

En Spivak "Cálculo sobre Múltiples" p.58 proporciona una versión general de Teorema de Fubini . Que presento a continuación (omito las partes que no son importantes para la pregunta):

Dejemos que $A\subset \mathbb{R}^n$ y $B\subset \mathbb{R}^n$ sean retángulos cerrados, y que $f:A\times B \rightarrow \mathbb{R}$ sea integrable. Para $x\in A$ y $y\in B$ y que $$\begin{equation} \mathscr{L}(x) = \mathbf{L} \int_B f(x, y) dy \end{equation}$$ denotan la integral inferior de $f$ en $y\in B$ . Entonces $\mathscr{L}$ es integrable en $A$ y: $$\begin{equation} \int_{A\times B} f = \int_A \mathscr{L} = \int_A \left(\mathbf{L} \int_B f(x, y) dy \right) dx \end{equation}$$

Hace las siguientes observaciones:

1. [No es relevante para esta pregunta]
2. En la práctica, suele ocurrir que $h(x) = \int_B f(x, y) dy$ es integrable, por lo que $$\begin{equation} \int_{A\times B} f = \int_{A} \left(\int_B f(x, y) dy\right) dx \end{equation}$$ puede aplicarse. Esto ocurre ciertamente si $f$ es continua.
3. La peor irregularidad que se suele encontrar es que $h(x)$ no es integrable para un número finito de $x\in A$ . En este caso, $\mathscr{L}(x) = \int_B f(x, y) dy$ para todos los casos, excepto los de un número finito de $x$ . Desde $\int_A\mathscr{L}$ no cambia si $\mathscr{L}$ se redefine en un número finito de puntos todavía podemos escribir $\int_{A\times B} f = \int_{A} \left(\int_B f(x, y) dy\right) dx$ siempre y cuando $\left(\int_B f(x, y) dy\right)$ se define arbitrariamente, por ejemplo como 0, cuando no existe.
4. Dejemos que $f:[0, 1] \times [0, 1]\rightarrow \mathbb{R}$ se define por: $$\begin{equation} f(x, y) = \begin{cases} 1 & \text{if }x\text{ is irrational} \\ 1 & \text{if }x\text{ is rational and }y\text{ is irrational}\\ 1-\frac{1}{q} & \text{if }x = p/q\text{ in lowest terms and }y\text{ is rational} \end{cases} \end{equation}$$ Entonces $f$ es integrable y $\int_{[0, 1]\times[0, 1]} f = 1$ . Ahora $\int_{0}^1 f(x, y) dy = 1$ si $x$ es irracional y no existe si $x$ es racional. Por lo tanto, $h$ no es integrable si $h(x) = \int_{0}^1 f(x, y) dy$ es igual a cero cuando la integral no existe.

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Mis preguntas son:

1. En la observación 3, ¿por qué tiene que ser un finito número de puntos? Si tuviéramos un conjunto cualquiera con medida 0, ¿no bastaría con definir $h(x) = 0$ en esos puntos, y en este caso, la igualdad: $$\begin{equation} \int_A \mathscr{L}(x) = \int_A h(x) \end{equation}$$ seguiría siendo válida.
2. En la observación 4, ¿por qué $\int_0^1 f(x, y) dy$ no existe para $x$ ¿Racional? El conjunto de discontinuidades en este caso tiene medida 0 y por el teorema 3-8 del mismo libro esto sería suficiente para garantizar la existencia de esta integral, ¿no?

Answer 1

Para (2) si $x$ es un racional fijo, entonces la función $g_x: [0,1] \to \mathbb{R}$ donde $g_x(y) = f(x,y)$ viene dada por

$$g_x(y) = \begin{cases}1, & y \in [0,1]\setminus\mathbb{Q} \\ 1- 1/q \neq 1, & y \in \mathbb{Q}\cap[0,1] \end{cases}$$

Se trata de una función de Dirichlet discontinua en todas partes y no es integrable de Riemann. Nótese que $g_x$ es discontinua en cualquier punto irracional $\xi$ ya que por la densidad de los racionales, existe una secuencia de racionales $r_n \to \xi$ tal que $g_x(r_n) \not\to g_x(\xi)$ . Del mismo modo, $g_x$ es discontinua en cada punto racional.

Answer 2

Como ya hay una respuesta para tu pregunta (2), me ocuparé de la (1). Spivak ya demostró que $\mathscr{L}$ es integrable en $A$ . La clave es que si se redefine $\mathscr{L}$ en un número finito de puntos de $A$ entonces sigue siendo integrable en $A$ y $$\begin{equation} \int_A \mathscr{L}_{\text{new}} = \int_A \mathscr{L}_{\text{old}}. \end{equation}$$ Sin embargo, si se redefine una función integrable en infinitos puntos (aunque sólo tenga medida cero) el resultado puede no ser integrable, como muestra el siguiente ejemplo:

Considere $\phi: [0,1] \to \mathbb{R}$ , $\phi(x) = 0$ que es claramente integrable, y su modificación $\psi: [0,1] \to \mathbb{R}$ , $$\begin{equation} \psi(x) = \begin{cases} 1 & \text{if $x \in \mathbb{Q}$} \\ 0 & \text{if $x \notin \mathbb{Q}$} \end{cases} \end{equation}$$ Observe que $\psi$ se obtiene de $\phi$ redefiniéndola en un subconjunto de los racionales, que son contables y por tanto tienen medida cero. Sin embargo, $\psi$ no es continua en ninguna parte, y por lo tanto no es integrable (estoy utilizando el hecho de que la integrabilidad de Riemann es equivalente al conjunto de discontinuidades que tienen medida cero). Así que no tiene sentido decir $$\begin{equation} \int_0^1 \phi = \int_0^1 \psi \end{equation}$$ Sin embargo, si se puede demostrar que incluso después de redefinir $\mathscr{L}$ en un conjunto de medida cero, sigue siendo integrable, entonces sí es cierta la ecuación que escribiste.