Sobre la interpretación geométrica de los anillos conmutativos

Question

Recientemente estoy leyendo *Nociones básicas de álgebra* de Shafarevich, y tengo algunas preguntas al respecto. Mi pregunta es sobre la interpretación del anillo conmutativo como objeto geométrico.
Más concretamente, el libro afirma,

1. Para cualquier punto $x_0$ en el plató $X$ se puede interpretar como un homomorfismo de anillo como, $x_0: F(X) \rightarrow K$ , donde $F(X)$ es el anillo de funciones en $X$ y $K$ es un campo que corresponde al rango de $F(X)$ . Más concretamente, construido como sigue, $$ \begin{array}{ccc} x_0: F(X) & {\longrightarrow} & K \\ {\in} & & \in \\ f & \longmapsto & f(x_0) \end{array} $$

2. Porque cualquier punto de $X$ tiene el correspondiente homomorfismo sobre campo, se puede relacionar con ideal máximo que es isomorfo al núcleo del homomorfismo. Si no está familiarizado con esto compruebe Wikipedia:Homomorfismo de anillos .

3. Alternativamente, se puede tomar cualquier anillo e interpretarlo como objeto geométrico relacionando los ideales máximos con los puntos del objeto geométrico.

4. Como ejemplo de esta idea, el libro tomó $\mathbb{Z}$ y afirmó que debía interpretarse como un anillo de funciones sobre un conjunto de números primos. Porque los ideales máximos de $\mathbb{Z}$ puede escribirse como (p) y esto corresponderá a puntos en el espacio base del anillo de funciones $\mathbb{Z}$ .

Tengo dos preguntas al respecto.

1. Estoy de acuerdo en que se pueden relacionar puntos sobre $X$ al homomorfismo de anillo, pero al relacionarlo con el ideal máximo es donde estoy confundido. ¿es obvio que el mapeo entre cada punto de X al ideal máximo es inyectivo?
2. Interpretación de $\mathbb{Z}$ como anillo de funciones sobre el conjunto de números primos (lo denotaré como $P$ ) también es confuso.

• Si los ideales máximos correspondientes son $(p)$ ¿no implica eso un campo de alcance de $\mathbb{Z}$ es $\mathbb{F}_p$ y por lo tanto, es diferente en cada punto de P? si es así, ¿se puede llamar "función" en P?
• Además, suponiendo que se pueda llamar como función, el anillo de funciones hecho por este tipo de funciones P $\rightarrow \bigoplus_p\mathbb{F}_p$ no será un dominio anillo. pero por otro lado, $\mathbb{Z}$ es el dominio. Entonces, estos dos no pueden ser isomorfos entre sí. Es $\mathbb{Z}$ realmente capaz de interpretarse como anillo de función en $P$ ?

Espero que mi pregunta tenga sentido. Gracias.

Answer 1

Esto está adaptado directamente de Eisenbud/Harris: Tome cualquier primo $p \in \mathbf{Z}$ . Para cualquier otro primo $q$ , que es naturalmente un punto* $x \in \operatorname{spec}(\mathbf{Z})$ , $p$ define una función, llámela también $p$ enviándolo a su valor residual en $\mathbf{Z}/q$ . Así que el mapa aquí es el mapa cociente natural $\mathbf{Z} \to \mathbf{Z}/q$ y el valor de $p$ en $x$ es la clase de $p$ en $\mathbf{Z}/q$ , sugestivamente denotado $p(x)$ .

A continuación, le piden que calcule el valor de $15$ (como función) en los puntos $(7)$ y $(5)$ de $\operatorname{spec}(\mathbf{Z})$ que puede ser un buen ejercicio si eres completamente nuevo en el tema. Para más detalles, le insto a que lea el texto. Es muy indulgente para los principiantes.

*O más bien el ideal que genera, pero no seamos preciosos.