¿Es el último teorema de Fermat equivalente a $1 + 1 = 2$ ?

Question

Me metí en un debate con alguien sobre si FLT es equivalente a $1 + 1 =2$ . Dijo que el sentido común nos dice que no es equivalente. Sin embargo, yo no estoy de acuerdo. Dado que ambas son afirmaciones demostrables, son equivalentes. ¿Cuál de los dos tiene razón?

Answer 1

En un ámbito del discurso (digamos, "matemáticas ordinarias", o ZFC) en el que ambas son probadamente verdaderas, o probadamente falsas, o cada una es probadamente verdadera o falsa asumiendo que la otra es verdadera o falsa, son equivalentes. Asumiendo tácitamente que estamos en tal reino (ya que la FLT ha sido probada), estás en lo cierto. No son semánticamente declaraciones equivalentes, sin embargo (es decir, no media la misma cosa): se pueden imaginar esquemas de axiomas bajo los cuales ninguno de los dos es demostrable, incluso asumiendo el otro; y en tal universo, no son equivalentes. Si el "sentido común" de tu amigo incluye esta arruga metamatemática, entonces también tiene razón.

Answer 2

La lógica básica nos dice que $$ P \longleftrightarrow Q $$ es verdadera mientras $P=Q=True$ o $P=Q=False$ . Así que sí lo son.