En un ejercicio, vi la siguiente igualdad :
$$ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \: dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^{2}(x)}{x^{2}} \: dx $$
Al principio, me sorprendió esta igualdad. Es muy fácil de demostrar utilizando la integración por partes. Sin embargo, esta explicación no me parece "intuitiva". ¿Hay alguna explicación más intuitiva?
Bueno, en general,
$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, f(x)$$
es igual a la transformada de Fourier de $f$ , $\hat{f}(k)$ , en $k=0$ . En este caso, el FT de $\sin{x}/x$ es
$$\hat{f}(k) = \begin{cases} \pi & |k| \le 1\\0&|k| \gt 1 \end{cases}$$
para que la integral de la izquierda sea $(1/2) \pi$ .
Para considerar la integral de la derecha, utilizamos el hecho de que la transformada de Fourier de un producto de dos funciones es igual a $1/(2 \pi)$ veces la convolución de las transformadas de las funciones. En este caso, la transformada sería la función del rectángulo anterior convolucionada consigo misma. Pero como estamos evaluando la integral en el lado derecho, que es el FT en $k=0$ sólo necesitamos la convolución en $k=0$ que no es más que la integral del cuadrado de la función rectangular anterior, o $2 \pi^2/(2 \pi)$ de modo que la integral en el lado derecho es, de nuevo $\pi/2$ .
El hecho destacado aquí es que las transformaciones de los integrados anteriores se basan en funciones rectangulares, que exhiben una forma de invariancia en su producto.
Puedes generalizar este resultado utilizando el teorema del residuo del análisis complejo y el teorema del semiplano superior, entonces no necesitas la integración parcial, pero este es el camino, calcula todo lo que puedas y ve al final, que es lo mismo.
No pienses demasiado en este problema, porque es sólo una coincidencia.
Si utiliza la integración por partes con $ u=\sin(x)^2 $ entonces tenemos
$$ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^{2}(x)}{x^{2}} \: dx = \int_{0}^{+\infty}\frac{2\sin(x)\cos(x)}{x}dx = \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(2x)}{x}dx =I. $$
Ahora, utiliza el cambio de variables $2x=t$ se obtiene la igualdad de las dos integrales
$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt. $$
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