Muchas veces hay problemas que están, en cierto sentido, "fuera de la geometría", pero que, sin embargo, son susceptibles de un enfoque geométrico. Por ejemplo, me pueden pedir que demuestre que los rangos de dos funciones afines unidimensionales cualesquiera deben tener uno, cero o infinitos valores en común. Una prueba fácil es decir: "Las funciones afines unidimensionales son líneas en la geometría euclidiana. Tales líneas se cruzan una, ninguna o infinitas veces según los postulados de Euclides".
En otro caso, se nos puede pedir que demostremos una identidad o desigualdad trigonométrica. Pero en lugar de apelar a sus definiciones analíticas, a menudo podemos dibujar un círculo y algunas líneas y utilizar los teoremas de la geometría euclidiana.
Las teorías de las ecuaciones lineales y de la trigonometría pueden desarrollarse sin aportar ningún axioma de Euclides. Normalmente, ambas teorías pueden derivarse de los axiomas de la teoría de conjuntos. Sin embargo, los postulados de Euclides no pueden derivarse así.
1) ¿Por qué la geometría euclidiana es tan especial? ¿Por qué no podremos utilizar otro tipo de geometría (hiperbólica?) para tales pruebas? En otras palabras, la geometría euclidiana parece más natural que otras clases, pero ¿por qué?
2) ¿Son rigurosas estas pruebas? ¿Debe ser un argumento geométrico tan convincente como una prueba en lenguaje de la teoría original?
