Una expresión para la medida de variación total de una medida con signo

Question

Dejemos que $F$ sea un álgebra de Sigma sobre un conjunto $X$ y que $\mu$ y $\nu$ sean medidas de probabilidad sobre $(X,F)$ es decir $\mu(X)=\nu(X)=1$ . Por último, dejemos que $\eta=\mu-\nu$ . Demostrar que $$|\eta|(X)=2\sup_{E\in F}|\eta(E)|,$$ donde $|\eta|$ es la medida de variación total de $\eta$ .

Ahora, por definición $|\eta|(X)=\eta^+(X)+\eta^-(X)$ donde $\eta=\eta^+-\eta^-$ es una descomposición de Jordan, pero no estoy seguro de cómo encontrar una descomposición de Jordan de $\mu-\nu$ . La otra idea que he tenido es utilizar el hecho de que $$|\eta|(X)=\sup\sum_{n=1}^k|\eta(E_n)|,$$ donde el supremum se toma sobre todas las particiones medibles $\{E_1,...,E_n\}$ pero no estoy seguro de cómo mostrarlo $2\sup_{E\in F}|\eta(E)|=\sup\Sigma_{n=1}^k|\eta(E_n)|$ o, por el contrario $$2\sup_{E\in F}|\mu(E)-\nu(E)|=\sup\sum_{n=1}^k|\mu(E_n)-\nu(E_n)|.$$

Answer 1

Desde $\mu$ y $\nu$ son finitos, $\eta$ es esto también, y también tenemos $\eta^{+}(X) \le 1$ y $\eta^{-}(X) \le 1$ . Porque $\mu$ y $\nu$ son medidas de probabilidad, podemos decir más: De hecho, encontramos que $$0= \mu(X)-\nu(X)=\eta(X)= \eta^{+}(X) - \eta^{-}(X).$$ Así, si $X= P \cup H$ es una descomposición de Hahn de $\eta$ tenemos $\eta^{+}(P) =\eta^{-}(N).$ Toma $E= P$ para conseguir $$2 |\eta(E)| = 2\eta^{+}(P) = \eta^{+}(P) + \eta^{-}(N) = |\eta|(X).$$ Por otro lado, para cualquier $A \in \mathcal{F}$ tenemos \begin{align} 2 |\eta(A)| &= 2|\eta^{+}(A)-\eta^{-}(A)| \\ &\le 2 \max \{ \eta^{+}(X),\eta^{-}(X)\} = \eta^{+}(X)+\eta^{-}(X) = |\eta|(X). \end{align}