Derivando AM-GM de una manera que refleja mi intuición.

Question

Una de mis intuiciones centrales con las desigualdades (especialmente las de tipo olímpico en las que esto es muy explícito, pero esto tiene influencias más profundas en cómo entiendo la relación entre desigualdades) es que en una desigualdad homogénea, en promedio, los términos que están más mezclados ( $x^2yz$ ) son más pequeños que sus homólogos menos mezclados ( $x^4$ ).

Con esta intuición, muchas desigualdades parecen triviales, como am-gm:

$$x^3+y^3+z^3\geq xyz + xyz +xyz$$

O esta otra:

$$x^2y + y^2z + z^2x\geq xyz+xyz+xyz$$

Y una generalización de parte de esta idea: La desigualdad de Murihead .

Quiero encontrar una prueba (me refiero a una derivación no particularmente formal) de AM-GM, que capture adecuadamente que "los términos mixtos son más pequeños en promedio" como la razón de la desigualdad. Creo que esto satisfaría algún impulso innato e inexplicable.

Puede que no exista una respuesta satisfactoria a esta pregunta (aunque ciertamente no la vería), pero espero haber comunicado el tipo de cosas que busco.

Answer 1

Creo que hay una prueba que satisface tu intuición. Voy a hablar sólo de la AM-GM común para tres números $x^3+y^3+z^3\geq 3xyz$ pero se puede generalizar directamente la idea para más variables.

Muy intuitivo desigualdad de reordenación puede generalizarse para tres secuencias ordenadas de no negativo números. Para $a_1 \geq a_2 \geq a_3\geq 0$ y $b_1 \geq b_2 \geq b_3\geq 0$ y $c_1 \geq c_2 \geq c_3\geq 0$ la desigualdad de reordenación generalizada establece que $$a_1b_1c_1 + a_2b_2c_2 + a_3b_3c_3 \geq a_{\sigma(1)}b_{\tau(1)}c_1 + a_{\sigma(2)}b_{\tau(2)}c_2 + a_{\sigma(3)}b_{\tau(3)}c_3$$ para cualquier permutación $\sigma, \tau:\{1,2,3\}\rightarrow\{1,2,3\}$ .

Como la desigualdad AM-GM es simétrica, podemos suponer que $x\geq y\geq z$ . Entonces AM-GM es una consecuencia inmediata de la desigualdad de reordenación generalizada para tres secuencias ordenadas $x\geq y\geq z\geq 0$ , $x\geq y\geq z\geq 0$ , $x\geq y\geq z\geq 0$ ya que en el LHS de AM-GM tenemos la mayor suma posible de productos y en el RHS tenemos alguna "mezcla" de productos.

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Te preguntarás cómo demostrar (intuitivamente) la desigualdad de reordenación y su generalización. Si lees el párrafo llamado Intuición en Wikipedia, debería ser obvio por qué la desigualdad de reordenamiento se mantiene para dos secuencias. Sin embargo, voy a presentar una prueba ligeramente inusual con algo que llamo añadiendo nivel por nivel (alguien me dijo que en realidad es el resumen de Abel pero reconozco que me dio pereza comprobarlo).

Voy a demostrar la siguiente desigualdad (todos los números son no negativos) $$\color{red}{a_1b_1} + \color{fuchsia}{a_2b_2} + \color{maroon}{a_3b_3} \geq \color{blue}{a_1b_2} + \color{lime}{a_2b_3} + \color{green}{a_3b_1}$$ y creo que entenderás cómo funciona para cualquier otra permutación. Empiezo con $b_3$ -(la primera línea que es realmente la igualdad), la segunda línea es $b_2$ -y el tercero es $b_1$ -Nivel. \begin{align} \color{red}{a_1b_3}\phantom{-x_y)} + \color{fuchsia}{a_2b_3}\phantom{-x_y)} + \color{maroon}{a_3b_3} &\geq \color{blue}{a_1b_3}\phantom{-x_y)} +\color{lime}{a_2b_3} +\color{green}{a_3b_3} \\ \color{red}{a_1(b_2-b_3)} + \color{fuchsia}{a_2(b_2-b_3)} \phantom{+x_yx_y} &\geq \color{blue}{a_1(b_2-b_3)}\phantom{+x_yx_y} +\color{green}{a_3(b_2-b_3)} \\ \color{red}{a_1(b_1-b_2)}\phantom{+ a_2(b_2-b_3) +x_yx_y} &\geq \phantom{a_1(b_2-b_3) + x_yx_y+} \color{green}{a_3(b_1-b_2)} \\ \end{align} Sólo hay que observar que obtenemos la desigualdad deseada tras sumar estos tres "niveles".

La idea de las tres secuencias es exactamente la misma. Supongamos que queremos demostrar esta desigualdad $$\color{red}{a_1b_1c_1} + \color{fuchsia}{a_2b_2c_2} + \color{maroon}{a_3b_3c_3} \geq \color{blue}{a_1b_2c_3} + \color{lime}{a_2b_3c_1} + \color{green}{a_3b_1c_2}.$$ Obsérvese de nuevo que no es más que una suma de estas tres desigualdades que se derivan de la desigualdad de reordenación para dos secuencias: \begin{align} \color{red}{a_1b_1c_3}\phantom{-x_y)} + \color{fuchsia}{a_2b_2c_3}\phantom{-x_y)} + \color{maroon}{a_3b_3c_3} &\geq \color{blue}{a_1b_2c_3}\phantom{-x_y)} +\color{lime}{a_2b_3c_3}\phantom{x} +\color{green}{a_3b_1c_3} \\ \color{red}{a_1b_1(c_2-c_3)} + \color{fuchsia}{a_2b_2(c_2-c_3)} \phantom{+x_yx_yx_y} &\geq \phantom{x_yx_y++} \color{lime}{a_2b_3(c_2-c_3)} + \color{green}{a_3b_1(c_2-c_3)} \\ \color{red}{a_1b_1(c_1-c_2)}\phantom{+ a_2b_2(c_2-c_3) +x_yx_yx_y} &\geq \phantom{x_yx_y++} \color{lime}{a_2b_3(c_1-c_2)}\\ \end{align}

Answer 2

Para las desigualdades cíclicas la idea de Muirhead no funciona.

Por ejemplo $$(4,3,0)\succ(4,2,1),$$ pero la desigualdad $$\sum_{cyc}x^4y^3\geq\sum_{cyc}x^4y^2z$$ es erróneo para los positivos $x$ , $y$ y $z$ (toma $y<z$ y $x\rightarrow+\infty$ ).

En realidad.

Si para los no negativos $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ y $\epsilon$ $$(\alpha,\beta,0)\succ(\gamma,\delta,\epsilon)$$ y la desigualdad $$\sum_{cyc}x^{\alpha}y^{\beta}\geq\sum_{cyc}x^{\gamma}y^{\delta}z^{\epsilon}$$ es cierto para cualquier positivo $x$ , $y$ y $z$ así que podemos probarlo por AM-GM.

Este hecho fue demostrado por Vasc más de $40$ hace años.

Answer 3

He aquí un enfoque para pensar en estas desigualdades que he encontrado.

No es exactamente una prueba, sino que se basa en una intuición más explicable.

Considere, por ejemplo, la desigualdad:

$$x^3+y^3+z^3\geq xyz + xyz +xyz$$

En cada lado, tenemos la suma de los volúmenes de tres prismas rectangulares. Como la desigualdad es homogénea, podemos interpretar que ambos lados tienen la misma superficie total.

Pero, de todos los prismas rectangulares, el cubo es el que tiene la mayor relación entre volumen y superficie, por lo que el lado izquierdo es el máximo.

Esto se generaliza fácilmente a desigualdades como:

$$x^2y+y^2z+z^2x\geq xyz + xyz +xyz$$

Los términos menos mezclados del lado izquierdo tienen una mayor relación volumen : superficie. También se genraliza a dimensiones superiores.