¿Existe una función donde el promedio de un conjunto sea igual al valor del promedio de ese conjunto?

Question

Usando notación matemática, mi pregunta es si hay alguna función $f$ donde $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)=f\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right)$ para todos los conjuntos $x=[x_1,x_2,...,x_n]$?

A partir de esa definición también pude encontrar una identidad para la resta $$f(x)-f(y)=z$$ $$f(x)+f(y)=z+2f(y)$$ $$2f\left(\frac{x+y}{2}\right)=z+2f(y)$$ $$2f\left(\frac{x+y}{2}\right)-2f(y)=z.$$ Repetir el proceso parece dar la identidad de forma general $$f(x)-f(y)=2^n\left(f\left(\frac{x+(2^n - 1)y}{2^n}\right)-f(y)\right).$$

En un intento intenté usar la definición básica de diferenciación y las identidades mencionadas para crear una interesante ecuación diferencial, pero me encontré en una situación que no creo que pueda desarrollarse.

En otro intento, noté que si todos los elementos de $x$ son iguales cualquier función satisface trivialmente la identidad basada en la suma. A partir de ahí pensé en analizar la identidad de resta para $x=y$. A partir de eso encontré que $f(x)=f\left(2x-2^{-k}x\right)$, lo cual parece implicar que $f$ debe ser periódica de alguna manera. Sin embargo, no estoy seguro de cómo analizar la ecuación más a fondo.

Cualquier otra información sobre qué propiedades $f$ podría tener o si existe sería grandemente apreciada, gracias y cuídate.

Editar: Jonah señala una solución simple, $f(x)=ax+b$, ¿hay alguna forma de encontrar una forma general para todas las soluciones o de demostrar que una ecuación lineal es la única? Además, hubo un error en la primera identidad de resta que proporcioné. Se ha corregido y el texto relacionado ha sido tachado.

Answer 1

Si $f$ está definida en el conjunto $\Bbb R$ de números reales y es continua, entonces el ejemplo dado anteriormente es el conjunto de todas las soluciones. Si $f$ es arbitraria, la solución general es de la forma $f=\alpha+b$ donde $\alpha$ es aditiva ($\alpha(x+y)=\alpha(x)+\alpha(y)$) y no necesariamente continua. Esto se puede ver de la siguiente manera. Utilizando la propiedad de $f$, vemos que también $g:=f-f(0)$ tiene esta propiedad. Luego, utilizando $x_1=x, x_2=\ldots=x_n=0$ resulta en $\frac1n g(x)=g(\frac1n x)$ ya que $g(0)=0$. Utilizando esto para $x_1+\ldots+x_n$ en el lado derecho en la propiedad definitoria de $f$ y $g$ obtenemos $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n g(x_i)=g\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right)=\frac1n g\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)$. Con $x_3=\ldots=x_n=0$ vemos que $g$ es aditiva. Por lo tanto, $f=\alpha+b$ con $\alpha:=g$ y $b:=f(0)$. Además, es bien sabido que todas las funciones aditivas continuas son lineales. Así que en este caso existe algún real $a$ tal que $\alpha(x)=ax$ para todo $x$.