Cómo obtener el ángulo entre coordenadas polares sin convertir a cartesianas

Question

Estoy tratando de encontrar una manera de obtener el ángulo entre dos puntos dados en coordenadas polares, sin convertirlos primero a x,y. Recuerdo (más o menos) la trigonometría de la escuela secundaria como para hacerlo con x,y, pero estoy perplejo al tratar de hacerlo con r, theta. He encontrado la fórmula de Haversine, pero eso es para encontrar el ángulo central entre dos puntos en un círculo. Ese no es el ángulo al que me refiero. Me refiero al que obtendrías de atan(y1 - y0 / x1 - x0) si quisieras convertir tus polares a cartesianas. Espero estar expresándolo bien; lo estoy haciendo con javascript, así que estoy haciendo Math.atan2(y1 - y0, x1 - x0). Pero me gustaría hacerlo con r, theta, si pudiera encontrar la manera.

P.D. Sólo 2D, no busco ninguna forma enormemente generalizada, si es que eso importa.

Editar, en caso de que ayude:

Answer 1

Puedes obtener la distancia entre los puntos utilizando la Ley de Cos

$$ d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos( \theta_2 - \theta_1 ) $$

Ahora utiliza la ley del seno para obtener el ángulo $\alpha$ frente a $r_2$

$$ \frac{\sin \alpha}{ r_2} =\frac{\sin (\theta_2 - \theta_1 )}{ d} $$ El ángulo que forma la recta que une los 2 puntos con el eje x es justo $\theta_1-\alpha$

Answer 2

He intentado averiguar el ángulo que quieres, por lo que en la foto verás que no utilizo coordenadas cartesianas para resolver el problema, pero si echas un vistazo a la respuesta que he dado en la foto puedes simplificar el problema sólo utilizando las fórmulas de conversión de coordenadas cartesianas a polares como:

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x=Rcos(θ) y

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y=Rsin(θ)

Resolver el problema...

Lo siento por la imagen, pero no puedo convertirla