Sea ABCD un trapecio; encuentre el punto M en AB, tal que $DM+MC$ es el mínimo posible

Question

Sea ABCD un trapecio con $A=B=90$ , $AD=a$ y $AB=BC=2a$ .

Encuentra el punto M en AB, tal que $DM+MC$ es mínimo posible.

He intentado hacer esta pregunta, pero sin éxito. He conseguido demostrar que $DA+AC<DB+BC$ algo que creo que ayudaría a encontrar este valor mínimo, sin embargo no he conseguido terminarlo. Además, también he encontrado que desde Pitágoras tenemos que $DA+AC=a+2a\sqrt{2}$ y $DB+BC=2a+a\sqrt{5}$ . ¿Puede alguien ayudarme a terminar la pregunta?

Answer 1

Una pista: Reflejar $C$ sobre $AB$ a $C'$ .

Answer 2

Otra forma de resolver -

Elija un punto $M$ en $AB$ tal que $AM = x, \,$ entonces BM = $(2a-x)$

$DM = \sqrt{AD^2 + AM^2} = \sqrt{a^2+x^2}$

Asimismo, $MC = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{4a^2+(2a-x)^2}$

$L = DM + MC = \sqrt{a^2+x^2} + \sqrt{8a^2+ x^2 - 4ax}$

Para encontrar el valor mínimo de $L$ ,

$ \displaystyle \frac{dL}{dx} = \frac {x} {\sqrt{a^2+x^2}} + \frac{x-2a}{\sqrt{8a^2+ x^2 - 4ax}} = 0$

$\displaystyle x \sqrt{8a^2+ x^2 - 4ax} + (x-2a) \sqrt{a^2+x^2} = 0$

$\displaystyle x \sqrt{8a^2+ x^2 - 4ax} = (2a-x) \sqrt{a^2+x^2}$

$\displaystyle x^2 (8a^2+ x^2 - 4ax) = (2a-x)^2 (a^2+x^2)$

Resolviendo obtenemos,

$ \displaystyle (x + \frac{2a}{3})^2 = \frac{16a^2}{9}$

Así que, $x = \frac{2a}{3}$ o $x = -2a$

Descartando $x = -2a$ , $AM = x = \frac{2a}{3}$ te da min.

EDIT: Acabo de añadir un diagrama para lo que Calvin Lin sugirió que utiliza la reflexión -

$DM + MC$ se minimizará cuando sea una línea recta.