Si $f(x)=\sqrt{x+a}+\sqrt{b-x}$ , encuentre los valores mínimos y máximos de $f(x)$ .

Question

Si $f(x)=\sqrt{x+a}+\sqrt{b-x}$ encontrar los valores mínimos y máximos de $f(x)$ .

Según la desigualdad AM-GM, el valor mínimo de $f(x)$ se produce cuando $\sqrt{x+a}=\sqrt{b-x}$ o $x=\frac{b-a}{2}$ . Sin embargo, la asignación de valores aleatorios a $a$ y $b$ y al trazar el gráfico se observa que éste es en realidad el valor máximo. ¿A qué se debe esta anomalía?

Ejemplo : Si $f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}$ el valor mínimo debe ser cuando $x=1$ cuando $f(1)=2\sqrt{2}$ . Sin embargo, éste es en realidad el valor máximo. Y el valor mínimo se puede obtener simplemente sumando los dos términos, ignorando la raíz y tomando luego la raíz de la suma. $$ \sqrt{x+1}+\sqrt{3-x} \ge\sqrt{4} $$

Mi segunda pregunta es si esto es siempre así. En otras palabras, ¿es siempre cierta la siguiente relación? $$ \sqrt{a+b} \le \sqrt{x+a}+\sqrt{b-x}\le \sqrt{2(a+b)} $$

Answer 1

Como $-a\le x\le b\iff-2a\le2x\le2b\iff-(a+b)\le2x+a-b\le(a+b)$

Suponiendo que $a+b>0,$ WLOG $2x+a-b=(a+b)\cos2y$ donde $0\le2y\le\pi$

$\sqrt2f(x)=\sqrt{2x+2a}+\sqrt{2b-2x}$

$=\sqrt{(a+b)\cos2y+b-a+2a}+\sqrt{2b-(a+b)\cos2y+a-b}$

$=\sqrt{2(a+b)}(\cos y+\sin y)=2\sqrt{a+b}\sin\left(\dfrac\pi4+y\right)$

Como $0\le y\le\dfrac\pi2,\dfrac1{\sqrt2}\le\sin\left(\dfrac\pi4+y\right)\le1$

Answer 2

Aquí está la cosa... Vas a tener un dominio restringido porque este es un $\sqrt{*}$ función de base.

Necesitas $x-a>0$ y $b-x>0$ así que $x>a \cap x<b$ . Así que, en primer lugar, TIENES que garantizar $a<b$

Suponiendo que $a<b$ entonces tendrás una función parecida a $\cap$ con un máximo en el centro $x=(b-a)/2$ y los mínimos en los puntos finales $x=a \land x=b$

(¡Intenta hacer un gráfico de algunos de ellos para que te hagas una idea de cómo resolverlo!)

Para el máximo se puede demostrar fácilmente utilizando un enfoque analítico $f(x) = \sqrt{x-a} + \sqrt{b-x}$ $f'(x) = 1/(2*\sqrt{x-a}) - 1/(2*\sqrt{b-x})$

Obtenga el punto crítico para el análisis max/min $f'(x) = 0 = 1/(2*\sqrt{x-a}) - 1/(2*\sqrt{b-x})$ $\Rightarrow 1/(2*\sqrt{x-a}) = 1/(2*\sqrt{b-x})$ $\Rightarrow {x-a} = {b-x}$ $\Rightarrow x=(b-a)/2$

(puede utilizar $f''(x)$ análisis para demostrar que es un máximo o hacerlo analizando un barrio, etc)

En cuanto a probar los mínimos, necesitas hacer algo más magia de la prueba .

Para ello, demostraría que f es estrictamente creciente en $[a,(b-a)/2]$ y disminuyendo en $[(b-a)/2, b]$ y luego ya está.