Transformada de Fourier de una función divergente

Question

Durante un cálculo del diagrama de Feynman, me encontré con una integral que es divergente: $$\int d^{2}p\frac{p^{2}p_{n}}{\left(p^{2}+\alpha k^{2}\right)^{2}}e^{ip\cdot y}$$ donde $p$ , $k$ y $y$ son vectores de dos componentes, y $n$ puede ser 1 o 2.

Para realizar la integración, lo único que se me ocurrió, es expandir el exponente y luego integrar término por término después de usar la regularización dimensional para curar la divergencia.

Desgraciadamente, cada término de esta serie es divergente y, por lo tanto, no estoy seguro de que la integración término a término (utilizando $\int f+g=\int f+\int g$ ) es admisible en este caso.

Me gustaría hacer dos preguntas: A. ¿Cómo puedo justificar la integración término a término (si es que se permite)?

B. ¿Hay alguna otra forma de hacer la integración?

Para hacerlo más transparente, la integral anterior puede escribirse en forma de componente también como $$\int dp_{1}\, dp_{2}\frac{\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)p_{n}}{\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\alpha(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})\right)^{2}}e^{ip_{1}y_{1}+ip_{2}y_{2}}$$

Answer 1

Probablemente sea más fácil utilizar el sistema de coordenadas polares $p=(p_1,p_2)=p(\cos \theta,\sin\theta),y=(y_1,y_2)=y(\cos \phi,\sin\phi)$ :

$$\int d^{2}p\frac{p^{2}p_{1}}{\left(p^{2}+\alpha k^{2}\right)^{2}}e^{ip\cdot y}= \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\infty} pdp\frac{p^{2}p \cos\theta}{\left(p^{2}+\alpha k^{2}\right)^{2}}e^{ip y \cos(\theta-\phi)}$$ $$=2i\pi \cos(\phi)\int_0^{\infty} pdp\frac{p^{2}p J_1(py)}{\left(p^{2}+\alpha k^{2}\right)^{2}}$$

$$\int d^{2}p\frac{p^{2}p_{2}}{\left(p^{2}+\alpha k^{2}\right)^{2}}e^{ip\cdot y}= \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\infty} pdp\frac{p^{2}p \sin\theta}{\left(p^{2}+\alpha k^{2}\right)^{2}}e^{ip y \cos(\theta-\phi)}$$ $$=2i\pi \sin(\phi)\int_0^{\infty} pdp\frac{p^{2}p J_1(py)}{\left(p^{2}+\alpha k^{2}\right)^{2}}$$