¿Qué es la $ds^2$ ¿la notación en la física relativista?

Question

¿Podría alguien explicarme intuitivamente cómo $ds^2$ representa la distancia en la física relativista?

Answer 1

$s^2 = x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2$ donde x, y, z son las medidas habituales de distancia, c es la velocidad de la luz, y t es la medida habitual del tiempo; entonces s es el intervalo espacio-temporal.

El intervalo espacio-temporal, s, es un invariante relativista, que da la misma medida entre dos eventos espacio-temporales distintos, sin tener en cuenta las velocidades relativas de los observadores.

La notación $ds^2$ se refiere entonces a un pequeño incremento en el intervalo espacio-temporal.

Answer 2

Si quisieras encontrar la longitud de una curva en 3D, podrías dividirla en trozos y sustituir cada trozo por un segmento de línea recta y sumar las longitudes de cada trozo. Esto sería una subestimación, pero se acercaría cada vez más a medida que la dividieras en trozos cada vez más pequeños.

Para encontrar la longitud de cada pieza se puede encontrar el $x,$ $y,$ y $z$ coordenadas de cada extremo del segmento de línea y luego calcular las diferencias y llamarlas $\Delta x=x_2-x_1,$ $\Delta y=y_2-y_1,$ y $\Delta z=z_2-z_1$ . Entonces se podría calcular $\Delta s^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2$ . Entonces la longitud es $\sqrt{\Delta s^2}$ .

¿Cuál es la diferencia entre $\mathrm ds^2$ y $\Delta s^2$ ? La segunda depende de dos puntos, mientras que la primera se mantiene en un solo punto. Para cada segmento de línea, lo segundo es correcto. Pero si empiezas a dividirlo en pequeños segmentos podrías empezar a utilizar $\mathrm ds^2$ y obtendrá una respuesta incorrecta para el segmento de la línea, pero se acercará a la respuesta correcta a medida que los segmentos sean más pequeños. Es una cuestión de cálculo. Pero es realmente difícil ver la diferencia si se utiliza el $x,$ $y,$ $z$ sistema de coordenadas. Así que podría utilizar la altitud $r$ (medido en metros) y el ángulo desde el polo norte $\theta$ y el ángulo desde el primer meridiano $\phi$ (ambos ángulos medidos en radianes, una unidad de ángulo diseñada para facilitar las fórmulas de cálculo).

Entonces $$\mathrm ds^2=\mathrm dr^2+r^2\left(\mathrm d\theta^2+(\sin^2\theta)\mathrm d\phi^2\right).$$

Para evaluarla se necesita una $r,$ y $\theta$ para evaluar $r^2$ y $\sin^2\theta$ y entonces se puede calcular $\Delta r$ para usar para $\mathrm dr$ y calcular $\Delta \theta$ para $\mathrm d\theta$ y calcular $\Delta \phi$ para $\mathrm d\phi$ . Esto no te da la longitud real de ese segmento de línea. Pero el límite de la suma de las longitudes será la respuesta correcta.

Ahora podemos hablar de la relatividad. Todavía quieres ser capaz de calcular longitudes. Así que todavía se calcula un $\mathrm ds^2$ para cada pequeño segmento y ahora tiene que tomar $\sqrt{-\mathrm ds^2}$ o $\sqrt{\mathrm ds^2}$ para obtener la longitud de un trozo pequeño porque algunos $\mathrm ds^2$ son positivos y algunos $\mathrm ds^2$ son negativos. Si sabe que su curva tendrá un resultado positivo o negativo $\mathrm ds^2$ entonces sabrás qué hacer.

Si no lo sabes. Puede ser más difícil. Pero normalmente lo sabes. Igual que sueles saber si tienes una regla o un reloj con el que estás midiendo.

Así que el $\mathrm d$ parte le dice que sólo lo utilice para segmentos pequeños y que sólo espere la respuesta correcta en el límite y en segmentos cada vez más pequeños. El cuadrado en $\mathrm ds^2$ te dice que tienes que sacar una raíz cuadrada para obtener la longitud del pequeño segmento. Así que la notación es supuestamente para recordarle lo que debe hacer y cómo usarlo.

Answer 3

ds es una distancia infinitesimal a lo largo de la geodésica. En la Relatividad General todas las partículas y fotones viajan a lo largo de una geodésica, calculada mediante la resolución de una ecuación diferencial tensorial, y aplicando condiciones iniciales.