solución ecuación diferencial $8$ pedir

Question

Determinar la solución general de la ecuación diferencial homogénea cuya ecuación característica es:

$$(r+5)(r-2)^3(r^2+1)^2=0$$

Sé que piensas que la primera $4$ soluciones: $-5,~2,~i$ y $-i$ .

Pero siendo un $8$ La ecuación, no sé cómo encontrar las otras soluciones. ¿Pueden ayudarme? Gracias

Answer 1

Claramente, las raíces de la ecuación auxiliar $~(r+5)(r-2)^3(r^2+1)^2=0~$ son $~-5,~2,~2,~2,~i,~i,~-i,~-i$ .

Aquí la solución general es

\begin{equation} y=c_1~e^{-5x}+(c_2+c_3~x+c_4~x^2)e^{2x}+(c_5+c_6~x)e^{ix}+(c_7+c_8~x)e^{-ix}\\ \\ \implies y=c_1~e^{-5x}+(c_2+c_3~x+c_4~x^2)e^{2x}+(c_5+c_6~x)(\cos x +i~\sin x)+(c_7+c_8~x)(\cos x -i~\sin x)\\ \\ \implies y=c_1~e^{-5x}+(c_2+c_3~x+c_4~x^2)e^{2x}+(a+b~x)\cos x+(p+q~x)\sin x \end{equation}

donde $~a=c_5+c_7~$ , $~b=c_6+c_8~$ , $~p=i(c_5-c_7)~$ y $~q=i(c_6-c_8)~$ .

Todo $c_1,~c_2,~c_3,~c_4,~c_5,~c_6,~c_7,~c_8,~a,~b,~p,~q$ son constantes.

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• Dejemos que $~m_1,~m_2,\cdots,~m_n~$ sea $n$ raíces distintas de la ecuación auxiliar, entonces la solución general es

$$y=c_1~e^{m_1x}+c_2~e^{m_2x}+\cdots +c_n~e^{m_nx}$$

• Si fuera de $n$ raíces $r~~(r<n)$ raíces son iguales, entonces la solución general es

$$y=c_1~e^{m_1x}+c_2~e^{m_2x}+\cdots+(k_1+k_2~x+k_3~x^2+\cdots+k_{r}~x^{r-1})e^{m_rx}+\cdots +c_n~e^{m_nx}$$