¿Significa un valor propio cero que la matriz no es invertible independientemente de su diagonalidad?

Question

Si la matriz $A$ es diagonalizable, entonces sabemos que su matriz diagonal similar $D$ tiene un determinante $0$ por lo que la matriz $A$ es invertible? Sin embargo, si $A$ no es diagonalizable, ¿cómo estamos seguros de que la matriz $A$ que tiene $0$ como valor propio no es invertible?

Aquí tengo otra confusión, ¿el grado del polinomio característico determina el tamaño de la matriz, es decir $\lambda (\lambda+2)^3 (\lambda-1)^2$ tiene $6\times 6$ ¿Matriz?

Answer 1

El determinante de una matriz es el producto de sus valores propios. Así, si uno de los valores propios es $0$ entonces el determinante de la matriz es también $0$ . Por lo tanto, no es invertible.

Answer 2

Supongamos que $M$ es una matriz invertible, con un vector propio no nulo $v$ correspondiente al valor propio $0$ . Entonces tendríamos $$v = M^{-1}Mv = M^{-1}(0v) = 0$$ Pero $v \ne 0$ . Esto demuestra que si $0$ es un valor propio de $M$ , $M$ no puede ser invertible.

Answer 3

1. No estoy seguro de la redacción exacta de su primer párrafo, así que permítame usar la interpretación: "Si una matriz tiene cero como valor propio, ¿qué dice esto sobre la invertibilidad?"

Tenga en cuenta que, por definición, $\lambda$ es un valor propio de $A$ si $Ax = \lambda x$ para algunos $x \ne 0$ . Pero esto significa $(A - \lambda I)x = 0$ . Ahora bien, si tomamos $\lambda = 0$ entonces lo anterior se convierte en $Ax = 0$ para un número de veces que no es cero $x$ . Hay varias formas de interpretar esto (por ejemplo, que el espacio nulo no es trivial) que llevarán a la misma conclusión, a saber, que la matriz es no invertible.

2. También por definición, el polinomio característico se define como $\chi_A (x) = \textrm{det} (xI - A)$ que obviamente tiene grado $n$ si $A$ es un cuadrado $n \times n$ matriz.

Answer 4

Si $0$ es un valor propio, entonces existe un vector no nulo $v$ con $Mv = 0$ . Entonces el núcleo de $M$ no es trivial (es al menos unidimensional), por lo que no es uno a uno visto como una transformación lineal. Entonces no es invertible.

El cuadro geométrico: $M$ colapsa el subespacio abarcado por $v$ y por lo tanto mapea su dominio en un hiperplano en su codominio. Esta imagen dice en realidad: $M$ no es onto, pero es otra forma de afirmar la no invertibilidad.

Tenga en cuenta que $M$ puede seguir siendo diagonalizable, ya que puede seguir teniendo una base de vectores propios, independientemente de que "colapse" algunos.

Answer 5

El polinomio característico de la matriz A es el determinante de $A- \lambda I$ . Como eso tiene una copia de $\lambda$ en cada fila y columna, sí, el grado del polinomio característico es igual al orden de la matriz.