Paradoja aparente con el potencial vectorial magnético

Question

Quería calcular el campo magnético en la figura utilizando el potencial vectorial magnético.

Por si el dibujo que he hecho no está muy claro, se trata de un hilo circular de radio $a$ con una corriente $I$ a través de ella. El $z$ -El eje pasa por el centro del círculo. Para simplificar, he supuesto que el círculo está en el plano en $z=0$ .

Dejemos que $|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|=R$ . Así, el potencial vectorial se calcula como

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu _0}{4\pi}\iiint\limits_V\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'})}{R}dV'$$

En este caso el alambre es infinitamente delgado, por lo que la integral de volumen se convierte en una integral de línea y utilizando coordenadas cilíndricas tenemos que

$$\mathbf{A}=\frac{\mu _0}{4\pi}\oint\limits_C \frac{Ia\mathbf{\hat{\phi}}}{R} d\phi'=\frac{\mu _0 Ia}{4\pi \sqrt{(z^2+a^2)}}\oint\limits_C \mathbf{\hat{\phi}} d\phi'$$

Pero $\oint\limits_C \mathbf{\hat{\phi}} d\phi'=\mathbf{0}$ . Así que, según estos cálculos:

$$\mathbf{A}=\mathbf{0}\implies \mathbf{\nabla}\times\mathbf{A}=\mathbf{B}=\mathbf{0}$$

Así que tengo que $\mathbf{B}=\mathbf{0}$ pero sé que esto es incorrecto, porque el resultado para este problema es conocido y lo he calculado sin usar $\mathbf{A}$ .

Sin embargo, quiero saber qué he hecho mal durante estos pasos. ¿Alguien puede verlo?

Answer 1

Usando la integral de línea, necesitas encontrar una función vectorial general para A .

Digamos que se trata de encontrar el campo en un punto (en coordenadas cilíndricas): ( $r_1,\phi_1,z_1$ ) debido al bucle circular.

Sea el vector del origen a este punto $\vec{r_1}$ y el vector desde el origen a cualquier punto de la espira sea $\vec{r'}$ . Las coordenadas de un punto del bucle son ( $a,\phi ,0$ ).

Entonces la distancia desde un punto del bucle a ( $r_1,\phi_1,z_1$ ) $=r=|\vec{r_1}-\vec{r'}|=(a^2+r_1^2-2r_1a*cos(\phi-\phi_1)+z_1^2)^{1/2}$

Lo tenemos,

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu _0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{I}(\mathbf{r'})} {r}dl'$$

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu _0I}{4\pi}\int\frac{\mathbf{dl'}} {r}$$

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu _0I}{4\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{a*d\phi*\hat{\phi}} {(a^2+r_1^2-2r_1a*cos(\phi-\phi_1)+z_1^2)^{1/2}}$$

Después de evaluar esta integral, se puede tomar el rizo con respecto a $r_1,\phi_1,z_1$ por lo que al generalizar estas coordenadas se obtiene una función para B .

La integral para A es frustrantemente difícil de evaluar, porque es exacta (e implica integrales elípticas) Así que, simplemente usamos la expansión multipolar para encontrar el campo B.

Si quieres ver cómo trabajar a través de la integral, este el tratamiento es absolutamente fantástico. El vídeo encuentra el campo en puntos del plano x-z, pero si se cambia el $\phi'$ en todas partes a $\phi'-\phi_1$ , donde $\phi_1$ es el ángulo acimutal del punto P, la solución será válida para todo el espacio.