Anillo de coordenadas de una unión disjunta de dos puntos

Question

Estoy intentando resolver el ejercicio 11.2.4 de Shafarevich:

"Supongamos que X está formado por dos puntos. Demostrar que el anillo de coordenadas $k[X]$ es isomorfo a la suma directa de dos copias del campo $k$ ."

Mi intento Dejemos que $X = \left\{ p_1, p_2 \right\}$ y $X_i= \left\{ p_i \right\}$ para $i=1,2$ . Sé que $k[X_i] = k$ . Ahora bien, si $f \in k[X_1] \oplus k[X_2]$ es cierto que $f= f_1 + f_2$ con $f_i$ regular en $X_i$ . Por lo tanto, $f \in k[X_1 \cup X_2]$ . Ahora tengo problemas para demostrar que $k[X_1 \cup X_2] \subseteq k[X_1] \oplus k[X_2]$ . ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Creo que ya lo has resuelto. Sin embargo, voy a publicar una solución para otras personas.

Dejemos que $X=\{a,b\} \subset \mathbb{A}^n$ . Entonces $I(X)\subset I(\{a\}), I(X)\subset I(\{b\}),$ donde ambos $m_1=I(\{a\}),m_2=I(\{b\})$ son ideales máximos.

$X=V(J)$ digamos. Entonces $I(X)=\sqrt{J}$ . Ahora $J\subset P$ , donde $P$ es un ideal primo implica $V(P) \subset X.$ Desde $V(P)$ es irreducible, $V(P)$ es singleton. Así, $P=m_1 \text{ or }m_2.$ Así, $\sqrt{J}=m_1 \cap m_2=m_1m_2.$ $k[X]=\frac{k[t]}{(t-a)(t-b)} \cong k \oplus k,$ por el teorema del resto chino.

Observación: En lugar de dos puntos, podemos tomar $X$ cualquier conjunto finito, y con el mismo método se sigue lo siguiente: $$|X|=n \Rightarrow k[X] \cong \underbrace{k \oplus k \oplus \dots \oplus k}_{n \text{ times}}.$$