¿Qué significa resolver o encontrar soluciones en matemáticas?

Question

Algo que me ha confundido mucho últimamente es que esta ecuación tiene cuatro soluciones $$3x(x+1)(x^2+x+2)=16x(x+1)(2x+1)$$

Pero, ¿qué significa eso? Hasta ahora las soluciones para mí han significado, cuáles son las coordenadas de $x$ cuando $y$ es igual a un valor determinado, normalmente $y=0$ .

Pero esta ecuación me ha despistado un poco porque al trazar esta ecuación en una gráfica sólo obtengo dos puntos en los que la recta cruza el $x$ -eje.

Espero que alguien entienda mi punto de vista.

Saludos

Answer 1

En general, la solución a un ecuación significa los valores que hacen que la ecuación sea verdadera.

Según esta definición, si $y = f(x)$ y luego encontrar las coordenadas de $x$ que hacen $y = 0$ significa encontrar los valores que hacen verdadera la siguiente ecuación:

$$y = 0$$

La solución de varias ecuaciones simultáneas, llamada sistema de ecuaciones, son los valores que hacen que todas las ecuaciones se cumplan al mismo tiempo.

También hay que tener en cuenta que algunas ecuaciones no tienen soluciones, mientras que otras pueden tener soluciones para cada $x$ en el dominio de la ecuación.

La definición es similar para las desigualdades.

edit: también puedes encontrar soluciones a cosas como $y \equiv 4 \bmod 7$ lo que significa que $y$ tiene un resto de cuatro cuando se divide entre siete. O cosas como $\sqrt{2x+9} \text{ is a real number}$ o $x \text { and } y + 1 \text{ have the same absolute value}$ . Estás encontrando los valores de las variables que hacen que la declaración sea verdadera.

También hay que tener en cuenta que es incorrecto encontrar soluciones a cosas que no se pueden llamar verdaderas o falsas, ya que entonces no hay nada que resolver. Por ejemplo, no tiene sentido encontrar las soluciones de $2$ , $x + 1$ o $\text{divisible by } 5$ .

Answer 2

Puedes pensar en ello como dos funciones:

$f(x) = 3x(x+1)(x^2+x+2)$

$g(x) = 16x(x+1)(2x+1)$

¿Cuándo se cruzan los arrepentimientos gráficos de estas funciones?

Exactamente cuando $f(x) = g(x)$ o,

$3x(x+1)(x^2+x+2) = 16x(x+1)(2x+1)$ .

Ahora puede resolver para $x$ para encontrar los cuatro $x$ -valores para los que se cruzan las dos curvas.

Answer 3

Resolver $3x(x+1)(x^2+x+2)=16x(x+1)(2x+1)$

es equivalente en la resolución de $3x(x+1)(x^2+x+2) - 16x(x+1)(2x+1) = 0$

Esto equivale además a resolver $x(x + 1)[(Ax + B)(Cx + D)] = 0$ para algunos $A, B, C$ y $D$ .

Resolviendo la última ecuación, obtenemos por tanto 4 raíces, a saber $x = 0,$ o $x= -1,$ o $x = -B/A,$ o $x = …$ .

Debe quedar claro que las anulaciones [de los factores $x$ y $(x + 1)$ ] NO debe hacerse al original desde el principio; de lo contrario sólo nos quedarán 2 raíces [con las otras dos perdidas como se ha descrito].

Answer 4

Definición : Resolver. Decimos que una ecuación es resuelto si y sólo si hemos enumerado el conjunto de todos los objetos que hacen que la ecuación sea verdadera. Decimos que hemos encontrado una solución si hemos encontrado un elemento del conjunto de soluciones.

Ejemplo: Si $x= 0$ entonces \begin{align} 3x(x+1)(x^2+x+2)=16x(x+1)(2x+1) \end{align} se convierte en \begin{align} 0 = 0 \end{align} que es verdadera, y por lo tanto $x =0$ resuelve la ecuación.

Ejemplo: Si $x =1$ entonces \begin{align} 3x(x+1)(x^2+x+2)=16x(x+1)(2x+1) \end{align} se convierte en \begin{align} 3\cdot 2 \cdot 4 = 16\cdot 2\cdot 3 \end{align} que es falso, y por lo tanto $x=1$ no es una solución.

Answer 5

Las cuatro raíces del problema dadas son $-1$ , $-1/3$ , $0$ y $10$ . Deben ser visibles al graficar la ecuación de cuarto orden que resulta de juntar los términos y poner la misma ecuación a cero. Esa ecuación es $3x^4 - 26x^3 - 39x^2 - 10x$ .