¿Por qué es $\mathbb{Z}[\sqrt{-4}] = \mathbb Z[2i]$ ¿no es un UFD?

Question

¿Por qué es $\mathbb{Z}[\sqrt{-4}] = \mathbb Z[2i]$ ¿no es un UFD?

$\mathbb Z[2i] = {a+bi}$ donde $b$ es par. ¿Cómo puedo mostrar esto ya que $4$ no es libre de cuadrados?

Answer 1

También se puede exponer un elemento irreducible que no sea primo. Es fácil comprobar que $2i$ es irreducible, pero no es primo, ya que $2i\mid 4=2\times 2$ pero $2i\nmid 2$ .

Answer 2

$$-4=-2*2$$ $$-4=2i*2i$$

En primer lugar, tenemos que demostrar que son factorizaciones irreducibles, por lo que tenemos que demostrar $2$ , $-2$ y $2i$ son irreducibles. Obsérvese que $\lvert z \rvert=2$ es cierto para todos estos números complejos, así que simplemente lo demostraremos para ese caso. Digamos que tenemos lo siguiente para $a, b, c, d \in \Bbb{Z}$ : $$z=(a+2bi)(c+2di)$$

Tenemos que demostrar que $a+2bi$ o $c+2di$ es una unidad. Toma el módulo de ambos lados:

$$2=\sqrt{a^2+4b^2}\sqrt{c^2+4d^2}=\sqrt{a^2c^2+4a^2d^2+4b^2c^2+16b^2d^2}$$

Cuadra ambos lados.

$$4=a^2c^2+4a^2d^2+4b^2c^2+16b^2d^2$$

Si ambos $b$ y $d$ son distintos de cero, entonces claramente, el lado derecho va a ser mayor que $4$ debido a la $16b^2d^2$ Así que, o bien $b=0$ o $d=0$ . Sin pérdida de generalidad, digamos $b=0$ .

$$4=a^2c^2+4a^2d^2=a^2(c^2+4d^2)$$

Si $\lvert d \rvert > 1$ entonces $4d^2 > 4$ , haciendo que todo el lado derecho sea mayor que $4$ Así que, o bien $d=0$ o $d=\pm 1$ . Si $d=0$ entonces tenemos $4=a^2c^2$ Así que $\pm 2=\pm ac$ . Desde $\pm 2$ son primos en $\Bbb{Z}$ , $\pm ac$ debe ser un producto trivial. Por otro lado, si $d=\pm 1$ entonces tenemos $4=a^2(c^2+4)=a^2c^2+4a^2$ . Claramente, $4a^2 \geq 4$ pero el lado izquierdo es igual a $4$ también tenemos $4a^2 \leq 4$ , lo que significa $4a^2=4$ y $a=1$ . Por lo tanto, este es también un producto trivial. Esto demuestra que todos los casos conducen a un producto trivial, por lo que $2$ , $-2$ y $2i$ son irreducibles en $\Bbb{Z}[2i]$ .

Ahora, necesitamos demostrar que estas factorizaciones son diferentes hasta los asociados. Podemos demostrarlo por contradicción. Supongamos que $2ia=-2$ y $2ib=2$ para algunas unidades $a, b \in \Bbb{Z}[2i]$ . Si esto se generaliza a $\Bbb{Q}[i]$ podemos utilizar las propiedades de un campo para demostrar que $a=i$ y $b=-i$ son las únicas posibilidades. Sin embargo, estos elementos tienen coeficientes impar de $i$ y por lo tanto no están en $\Bbb{Z}[2i]$ . Por lo tanto, tenemos una contradicción y estas dos factorizaciones deben ser diferentes.

Desde $-4$ tiene múltiples factorizaciones que no son asociadas entre sí, $\Bbb{Z}[2i]$ no es un UFD.

(Además, la primera factorización sólo es posible porque $4$ es un cuadrado perfecto).

Answer 3

Se puede demostrar que un UFD es integralmente cerrado en su campo de fracciones (véase aquí para una prueba). Nótese que el campo de fracciones de $\mathbb{Z}[2i]$ es $\mathbb{Q}(i)$ . Desde $i \in \mathbb{Q}(i)$ satisface el polinomio mónico $x^2 + 1$ entonces es integral sobre $\mathbb{Z}[2i]$ (e incluso sobre $\mathbb{Z}$ ). Sin embargo, $i \notin \mathbb{Z}[2i]$ así que $\mathbb{Z}[2i]$ no es integralmente cerrado, por lo que no es un UFD.