Desigualdad de la función cuantil

Question

He intentado demostrar la siguiente desigualdad pero me he quedado atascado:

Dejemos que $x \in \mathbb R$ y $p \in [0,1]$ y $X$ sea una variable aleatoria en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, P)$ . Dejemos que $A_p := \{z \in \mathbb R; F_X(z) \le p\}$ . Definir $F_X^{-1+}(p) := \sup A_p$ . Entonces, quiero demostrar que $P[X < x] \le p \Longleftrightarrow x \le F_X^{-1+}(p)$ .

Ideas: $\Rightarrow$ : Quiero demostrar que $x \in A_p$ es decir $F_X(x) \le p$ . Desde $F_X^{-1+}(p)$ es el supremum de $A_p$ se hace uno. Pero no sé cómo concluir eso de $P[X < x] \le p$ .

$\Leftarrow$ : Quería usar eso $F_X$ es no decreciente: $P[X < x] \le F_X(x) \le F_X(F_X^{-1+}(p)) \le p$ pero creo que esto sólo funciona si $F_X^{-1+}(p) \in A_p$ .

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

La prueba utiliza el hecho de que $F(\cdot)$ es creciente y continua hacia la derecha.

( EDITAR : la prueba ha sido revisada tras el comentario de zhoraster).

$(\Longrightarrow)\quad$

Supongamos que $P(X < x) \le p$ . Para cualquier $z < x$ , $P(X \le z) \le P(X < x)$ y por lo tanto $$P(X \le z) \le P(X < x) \le p$$ Así, el conjunto $$\{z \in \mathbb{R}: z < x\} \subseteq A_p$$ Tomando la $\sup$ en ambos lados, $$x = \sup \{z \in \mathbb{R}: z < x\} \le \sup A_p = F^{-1+}(p)$$

$(\Longleftarrow)\quad$ Supongamos que $x \le F^{-1+}(p)$ . Entonces $$\sup \{z \in \mathbb{R}: z < x\} = x \le F^{-1+}(p)$$ Toma el límite de la izquierda: $$\lim_{z \uparrow x} F(z) \le \lim_{z \uparrow F^{-1+}(p)} F(z) $$ El LHS converge a $F(x^-)=P(X < x)$ . En cuanto a la RHS, porque $F_X^{-1+}(p) = \sup A_p$ y $A_p = \{z \in \mathbb R; F_X(z) \le p\}$ , $F(z) \le p$ entonces el límite no puede ser mayor que $p$ y obtenemos $$P(X < z) \le\lim_{z \uparrow F^{-1+}(p)} F(z)\le p$$