Esta es una solución para $\sigma^2 < n$ . Puedes calcularlo a partir del resultado proporcionado en el enlace que has dado. Del enlace que has dado tenemos lo siguiente. Para $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ :
$$E(\Phi(X)) = \frac{\mu}{\sqrt{1 + \sigma^2}}$$
De este resultado se desprende el hallazgo de la UMVUE. Obsérvese que $\bar{X}_n \sim N(\mu, \sigma^2/n)$ para que
$$E(\Phi(\bar{X}_n)) = \frac{\mu}{\sqrt{1 + \frac{\sigma^2}{n}}}$$
Entonces, para cualquier $a \in \mathbb{R}$ tal que $a \neq 0$ , $a \bar{X}_n \sim N(a\mu, a^2\sigma^2/n)$ para que
$$E(\Phi(a\bar{X}_n)) = \frac{a\mu}{\sqrt{1 + \frac{a^2 \sigma^2}{n}}}$$
Ahora queremos encontrar $a$ tal que
$$\frac{a\mu}{\sqrt{1 + \frac{a^2 \sigma^2}{n}}} = \mu$$
que resuelve $a = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\sigma^2}{n} }}$ . Así, el UMVUE es $\Phi \left(\frac{\bar{X}_n}{\sqrt{1 - \frac{\sigma^2}{n} }} \right)$ ya que es una función de la estadística suficiente completa $\bar{X}_n$ . Además, se puede ver que esta estadística sólo será válida si $1 - \frac{\sigma^2}{n} > 0$ lo que significa $\sigma^2 < n$ .
¿Qué debemos hacer si $\sigma^2$ es mayor que $n$ ¿entonces? Desde $\sigma^2$ es conocido siempre podríamos aumentar $n$ sea mayor que $\sigma^2$ . No tengo grandes ideas sobre qué hacer si $n$ sin embargo, no se puede aumentar. El resultado anterior elimina la opción de $\Phi (a \bar{X}_n )$ como el UMVUE cuando $\sigma^2 > n$ sin embargo.
